Funzione complessa che manda cerchi in cerchi

Mostrare che $f(z)=1/z$ in $CC$ manda il cerchio di centro $z_0$ e raggio $R$ nel cerchio di centro $\bar z_0/(abs(z_0)^2-R^2)$ e raggio $R/(abs(abs(z_0)^2-R^2))$.

Preso $z$ nel cerchio di centro $z_0$ e raggio $R$ si ha che $abs(z-z_0)=R$, noi vogliamo mostrare che $abs(f(z)-z_0/(abs(z_0)^2-R^2))=R/(abs(abs(z_0)^2-R^2))$

Svillupando il primo membro si ha $abs(1/z-z_0/(abs(z_0)^2-R^2))=1/(abs(abs(z_0)^2-R^2))abs((abs(z_0)^2-R^2-\bar z_0z)/z)$, ora se riuscissi a mostrare che $(abs(z_0)^2-R^2-\bar z_0z)/z=z-z_0$ ho finito, ma non so come sviluppare i calcoli, qualcuno mi sa dire? Grazie

Sulla linea con congiunge l'origine con $z_0$ prendiamo 2 punti a distanza $R$ da $z_0$, ovvero

$z_a = z_0 /|z_0| (|z_0|+R)$

$z_b = z_0 /|z_0| (|z_0|-R)$

Applichiamo $f(z)=1/z$ ai punti e otteniamo

$f(z_a) = |z_0|/z_0 1/(|z_0|+R)$

$f(z_b) = |z_0|/z_0 1/(|z_0|-R)$

Il nuovo centro e' il punto medio $z'_0= 1/2 (f(z_a)+f(z_b))$

$z'_0 = 1/2 (|z_0|/z_0 1/(|z_0|+R)+|z_0|/z_0 1/(|z_0|-R))$

$z'_0 = |z_0|/z_0 |z_0|/(|z_0|^2-R^2)$

$z'_0 = 1/z_0 |z_0|^2/(|z_0|^2-R^2)$

Siccome $z_0 \bar z_0 = |z_0|^2$


$z'_0 = (\bar z_0)/(|z_0|^2-R^2)$


Il raggio si ottiene in modo simile $R'= 1/2 |f(z_a)-f(z_b)|$

Ciao andreadel1988,

Preso $z$ nel cerchio di centro $z_0$ e raggio $R$ si ha che $|z−z_0|=R$

Solo una precisazione: $|z - z_0| = R $ non è un cerchio, ma una circonferenza, infatti sviluppando ed elevando al quadrato si ottiene proprio $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2 $ che è l'equazione di una circonferenza di centro $C(x_0, y_0) $ e raggio $R$.
Invece si ha:

i) Cerchio con bordo (circonferenza): $ |z - z_0| \le R $
ii) Cerchio senza bordo (circonferenza): $ |z - z_0| < R $

Ciao andreadel1988,

Preso $z$ nel cerchio di centro $z_0$ e raggio $R$ si ha che $|z−z_0|=R$

Solo una precisazione: $|z - z_0| = R $ non è un cerchio, ma una circonferenza, infatti sviluppando ed elevando al quadrato si ottiene proprio $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2 $ che è l'equazione di una circonferenza di centro $C(x_0, y_0) $ e raggio $R$.
Invece si ha:

i) Cerchio con bordo (circonferenza): $ |z - z_0| \le R $
ii) Cerchio senza bordo (circonferenza): $ |z - z_0| < R $

Eh si intendevo cerchi come circonferenza, scusatemi per l'incomprensione.

Il raggio si ottiene in modo simile $R'= 1/2 |f(z_a)-f(z_b)|$

Ok, adesso se però volessi vedere che la funzione $f(z)=1/z$ manda $R_alpha={\lambdaz_0+i \alpha z_0| lambda in RR}$ con $alpha>0$ e $z_0inCC$ con $abs(z_0)=1$ nella circonferenza di centro $i \bar z_0/(2 \alpha)$ e raggio $1/(2 alpha)$ non dovrei procedere come ho detto io nella domanda?