30/04/2024, 14:37
gugo82 ha scritto:Siano \(I\subseteq \mathbb{R}\) un intervallo ed \(F:I\times \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}\).
Si chiama equazione differenziale ordinaria (in breve EDO) d'ordine \(n\) il problema di determinare se esistono ed, eventualmente, calcolarli esplicitamente tutti gli intervalli $U$ e le funzioni \(u:U\to \mathbb{R}\) tali che:
- $U sube I$ con $U$ non ridotto ad un solo punto;
- \(u\) è derivabile almeno \(n\) volte in \(U\);
- per ogni \(t \in U\) risulta \(F(t,u(t),u^\prime (t),\ldots, u^{(n)}(t))=0\).
Tale problema si indica in maniera più concisa scrivendo semplicemente \(F(t,u,u^\prime, \ldots ,u^{(n)})=0\).
Ogni funzione \(u\) che soddisfa le 1-3 si chiama soluzione (od anche integrale) della EDO \(F(t,u,u^\prime, \ldots ,u^{(n)})=0\).1
La classe \(\{u \text{ è soluzione di } F(t,u,u^\prime, \ldots ,u^{(n)})=0\}\) si chiama integrale generale della EDO \(F(t,u,u^\prime, \ldots ,u^{(n)})=0\).
30/04/2024, 21:31
01/05/2024, 12:34
02/05/2024, 01:12
calmierato ha scritto:Non so come citare col nome ammetto . Ho corretto aggiungendolo in grassetto.
[quote="gugo82"]
calmierato ha scritto: Però sai che sono talmente scemo che non ho capito il tuo spunto?
Perché a me sembra che i problemi mi nascano sul dominio non sul codominio! Forse mi sono spiegato male? O non vedo qualcosa
02/05/2024, 12:51
gugo82 ha scritto:P.S.: Aver citato un mio post senza scrivere il nome dell'autore è un peccato mortale.
gugo82 ha scritto:Se $u : I -> RR$, il vettore $(x,u(x))$ in che insieme ha valori?
E se $u$ ha derivata prima $u’ : I -> RR$, il vettore $(x,u(x), u’(x))$ in che insieme prende valori?
E se $u$ ha derivata seconda… Etc.
04/05/2024, 16:13
05/05/2024, 10:35
vero, che stupidaggine che ho detto, pensavo all'insieme codominio in realtà perché diceva posso avere un codominio $H⊆RR$, però il fatto è che addirittura quello che devo considerare è un insieme ancora più ristretto (ma la domanda cambia di poco perché $Im(f)⊆H⊆RR$): l'immagine di $u(x)$. Però il dubbio rimane, sostituendo nel messaggio precednete codominio con immagine, il senso è quello. Non mi ci ritrovo perché $u(x)$ ha una certa immagine e quando dico che ho la funzione $F(*,u(x),*,*...)$ io continuo a ritenere che l'immagine di u è importante per definirla. Quindi non capisco come risolvere questo problemozzo.gugo82 ha scritto:Cerca di non confondere codominio ed immagine.
vorrei ragionare su due punti:gugo82 ha scritto:E non confondere la condizione di componibilità di applicazioni con il dominio della componente esterna.
09/05/2024, 09:32
09/05/2024, 15:06
calmierato ha scritto:[ADD]vorrei ragionare su due punti:gugo82 ha scritto:E non confondere la condizione di componibilità di applicazioni con il dominio della componente esterna.
1)
leggendo e rileggendo questo messaggio, perché ero sicuro nascondesse la soluzione, forse (e udite bene dico forse) ho capito, vediamo se finalmente mi dici che non sto dicendo stubidaggini.
Allora, quando dico che l'equazione differenziale è quella funzione $ F(x,u(x),u'(x),...) in RR $[...]
calmierato ha scritto:[...] (che nel nostro esempio banalotto è $ f(t,y)=y^2 $) in effetti è giusto dire che è una funzione $ F:I×RR^(n+1)→RR $, ovviamente non una $ F:RR×RR^(n+1)→RR $, questo perché la funzione esterna $ F $ ha dominio $ I×RR^(n+1) $, poi componendola con le varie $ u(x) $ , $ u'(x) $ non mi dà grandi problemi perché resta sempre da $ F:I×RR^(n+1)→RR $, solamente che subentra la condizione di componibilità: quando compongo la funzione F con u per ottenere la funzione composta $ F(x,u(x),u'(x),...) $, in effetti il dominio di F non è richiesto coincida con il codominio [o ancora meglio con l'immagine delle u(x)], basta che il dominio di F contenga l'immagine delle u. Cosa che in effetti è rispettata.
calmierato ha scritto:Per farla breve con un esempio: $ f(t,y)=y^2 $ è di base $ f:IxxRR->RR $, come detto, poi è sì vero che la soluzione $y$ sarà: $ y:(−oo ,c) -> (0,+oo) sube RR $ (oppure $ y:(c,+oo)→(-oo,0) sube RR $) a seconda della condizione iniziale, e ha condizione di componibilità che richiede che il dominio di f contenga l'immagine della $y$, ma questo è vero infatti $ Im(y)=(-oo,0) sube RR $ (oppure come detto$ Im(y)=(0,+oo) sube RR $). Da qui in poi scegliamo: $ y:(−oo ,c) -> (0,+oo) sube RR $ per non ripetere sempre (oppure).
Sicuramente è giusto quindi scrivere $ f:I×(0,+oo) -> RR $ se guardo f come la funzione ristretta sul dominio di composizione, ma lo è altrettanto scrivere $ f:IxxRR->RR $, per la f in generale.
Insomma non era necessario ma solo un di più la scrittura riportata.
Sbaglio?
calmierato ha scritto:2)
Mi sembra giusto tranne un'ultima cosetta da sistemare (a meno che non mi dici che ho detto cose tutte sbagliate) ed è la seguente sulla quale nel discorso precedente ho soprasseduto per non mischiare i dubbi tra composizione e questo:
io come detto so che $ y:(−oo ,c) -> (0,+oo) sube RR $ questo allora limita i valori di t che saranno t.c $ t in (−oo ,c) $; ma quindi dire che per l'esercizio $ y'=y^2 $ è una $ f(t,y)=y^2 $ del tipo $ f: RR xx RR->RR $ come vedo nella soluzione del libro, a priori è sbagliato perché qui non mi salva più il discorso della composizione, f deve essere definita come: $ f:(−∞,c)xxRR->RR $.
Non capisco quindi come salvare la scrittura $ f:RRxxRR->RR $ sul primo R del prodotto cartesiano stavolta, il secondo è dato dal discorso (1) della composizione e se corretto direi che ora mi torna.
09/05/2024, 17:09
mi sembra di sì per entrambe. Vediamo:Scusa, ma sai cos'è una funzione?
Sai che non se ne può cambiare arbitrariamente il dominio o il codominio e sperare di avere sempre lo stesso oggetto tra le mani?
anche qua, vado sempre a memoria come sopra, ma mi sembra id averle abbastanza in mente queste cose, vediamo:Il problema è che ti manca la chiarezza sui fatti algebrici di base (come si fa e sotto quali condizioni è possibile la composizione di funzioni)
Esattamente, ed è questo che stavo dicendo dall'inizio. Perché non riesco davvero a vedere in che modo non cambi se inizialmente ne diamo una definizione e poi col la risoluzione scopriamo che la F data all'inizio come definizione ha un dominio differente: quella F dell'inizio non andava bene! Questo dico.Dominio e codominio della funzione f(t,y) sono dati del problema, non ha alcun senso cambiarli a proprio piacimento.
è sacrosanto, ma con il metodo del prof invece il dominio cambia a suo piacimento: prima dice che l'eq. differenziale è $ f:RR×RR→RR$ e dopo, svolta la soluzione, sono costretto a ritrattare perché t non corre su tutto $RR$ (per rendere sensata la soluzione y) e quindi: $f:(−∞,c)×RR→RR$: ho cambiato il dominio!Dominio e codominio della funzione f(t,y) sono dati del problema, non ha alcun senso cambiarli a proprio piacimento
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