Studio della funzione integrale - I... VI

Chiedo scusa se continuo a postare qui ma ho trovato un problema particolarmente interessante.

Mi sono posto la seguente domanda: è possibile determinare una primitiva della funzione $\Gamma$ di Eulero? Mi sto chiedendo se esiste una qualche tecnica, eventualmente anche terribilmente complicata, per determinare una funzione $\Psi$ tale che
\[ \Psi'(x) = \Gamma(x) \] o se vogliamo \[ \Psi'(x) = \int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,dt \] Ingenuissimamente potrei pensare di scrivere \[ \Psi(x) = \int {\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,dt}\,dx \] ma sfido chiunque a calcolare un simile integrale... Forse ha più senso studiare la seguente funzione integrale \[ \Psi(x) = \int_0^x{\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,dt}\,dx \] ma più che una funzione integrale sembra un integrale doppio e faccio davvero fatica ad applicare lo schema di studio proposto in questa discussione. Avete qualche suggerimento da darmi?

Evidentemente l'integrale:
\[
\Psi (x):=\int_0^x \Gamma (t)\ \text{d} t
\]
non converge: infatti in \(0\) la funzione \(\Gamma\) è un infinito d'ordine maggiore di \(1\) e dunque non è sommabile.
Quindi la \(\Psi\) non è una funzione propria: infatti, \(\Psi (x)=+\infty\) per ogni \(x>0\).

La cosa si può salvare considerando la funzione:
\[
\Lambda (x) := \int_1^x \Gamma (t)\ \text{d} t\; .
\]
Tale funzione è strettamente crescente in \(]0,+\infty[\), perchè la sua derivata è positiva in \(]0,+\infty[\); è nulla in \(1\), positiva in \(]1,+\infty[\) e negativa in \(]0,1[\); ha \(\displaystyle \lim_{x\to 0^+} \Lambda (x)=-\infty\); la funzione è concava in \(]0,1]\) e convessa in \([1,+\infty[\); e cresce all'infinito molto velocemente.

È possibile generalizzare il concetto di funzione integrale nel caso di funzioni di più variabili?

È possibile generalizzare il concetto di funzione integrale nel caso di funzioni di più variabili?

No.

No.

Perché no?

[OT]

No.

Perché no?

Per lo stesso identico motivo per cui delle serie ordinarie \(\sum a_n\) puoi scrivere la successione delle somme parziali, mentre per le serie doppie \(\sum a_{n,m}\) non puoi.

Insomma, un insieme "lineare" come la retta reale ha un suo odinamento naturale (ha solo due versi di percorrenza e basta sceglierne uno) e ciò ti consente di dare un significato al simbolo:
\[
\int_a^x f(t)\ \text{d} t
\]
sia se \(x\) viene dopo di \(a\) sia se viene prima.
Ma la stessa cosa non si può fare negli spazi a dimensione superiore, perchè essi non hanno un ordinamento naturale: infatti, che senso avrebbe, senza un ordinamento sottostante, un simbolo del tipo:
\[
\int_{(a,b)}^{(x,y)} f(t,s)\ \text{d} t\text{d} s \text{ ?}
\]

Quando si parla di "funzione integrale" di una funzione di più variabili (o, in generale, di una funzione definita su uno spazio di misura) si pensa sempre ad una funzione "d'insieme" e non ad una funzione "di punto".
Ad esempio, se \(f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}\) è una funzione continua la funzione integrale della \(f\) è l'applicazione definita da:
\[
F(E):= \int_E f(x,y)\ \text{d} x\text{d} y
\]
ove \(E\subseteq \mathbb{R}^2\) è un insieme misurabile (secodo Peano-Jordan, ad esempio).

[/OT]

Ecco un piccolo omaggio a tutti gli utenti del forum.

Grazie molte! Inizio subito la lettura!

Scusate il disturbo ma io continuo ad avere problemi con gli studi integrali, dato che la prof ce li ha accennati pochissimo.

Se ho una funzione a tratti come mi comporto? Io ho questa


$\{( xsen2x),(x/2):}$

La prima vale nell'intervallo [ - $\pi$/2 - 1/2 ; $\pi$/2 + 1/2 ]
La seconda esternamente a questo intervallo.

E' una funzione continua nei rispettivi intervalli, ma non totalmente perchè c'è una discontinuità di salto giusto? Derivabile nei rispettivi intervalli aperti.
C'è l'asintoto orizzontale sinistro che tende a 0- e quello destro che tende a 0+
Poi dovevo determinare il segno della funzione con il teorema degli zeri ... io ho trovato che gli zeri sono 0 e $\pi$/2
Mi veniva chiesto per quali x , $f(x)=x$ , non sono sicura del ragionamento che ho fatto ma ottengo che per $xsen2x$ abbiamo $\pi$/4 , mentre per $\x/2$ abbiamo 2 .

Devo poi determinare dominio, eventuali asintoti verticali e orizzontali , punti di discontinuità , punti angolosi e cuspidi della funzione definita da $\int_0^xf(t)dt$ e qui mi perdo fra tutti gli intervalli e inizio a fare casino! Qualcuno mi può aiutare?

Scrivo qui perchè mi sembrava il posto più adatto. Ci sono siti internet o programmi che disegnano funzioni integrali? Grazie mille.