Prodotto fra tensori e prodotto tensoriale

Il modo in cui scrivi un tensore di rango \(1\), io userei il termine decomponibile, non sono necessariamente espressi nel modo "ovvio". Insomma nel caso \((2,0)\) è equivalente al calcolo del rango della matrice, nel caso più generale non è così semplice.

Comunque l'immagine della funzione \(f(v,w)\mapsto v\otimes w\) non è un sottospazio; il più piccolo sottospazio che lo contiene è infatti \(V\otimes V\).

Non devi confondere una funzione multilineari (bilineare in questo caso), con una funzione lineare. Infatti una funzione bilineare non è lineare. Per capirci:
LINEARE
\(2f(x,y) = f(2x,2y)\)
BILINEARE
\(2f(x,y) = f(2x,y) = f(x,2y\)

Da quello che dice Vic mi sembra definito, oltre al prodotto fra tensori, anche il prodotto tensoriale tra spazi di tensori. Allora nel caso dello spazio prodotto ottenuto da spazi di tensori omogenei, i.e. $V^{\otimes n}\otimes V^{\otimes m}$ (idem per il prodotto ottenuto dai duali), tale spazio coincide con lo spazio $V^{\otimes (n+m)}$?

Si è esatto. In realtà non vi è alcuna differenza tra i due prodotti. Tieni conto che il prodotto tensoriale ha la proprietà distributiva rispetto alla somma.

Ok, grazie delle risposte