Esistenza e unicita dell'applicazione lineare

Buongiorno, avrei due problemi da sottoporvi a cui non so dare una risposta precisa.
1) Esiste un'applicazione lineare t.c. $f((0),(1)) = ((2),(4))$ e $f((1),(1)) = ((1),(5))$? E` unica? Trovare $"Ker"f$ ed $"Im"f$.
Risposta: Noto che i due vettori del dominio sono lin. indip e costituiscono una base del dominio, quindi l'app.lin esiste ed è unica, giusto?
Per trovare $"Ker"f$ ed $"Im"f$ vado a scrivermi la matrice associata alla base canonica $\{((1),(0)),((0),(1))\}$ e trovo $"Ker"f$ ponendola $= 0$ ed $"Im"f$ ponendola $= ((x),(y))$.

2) Esiste un'applicazione lin. t.c. $f((0),(1),(1)) = ((2),(4))$ e $f((1),(0),(1)) = ((1),(5))$?
Qui cosa posso dire? Nel senso, i due vettori sono lin indip ma NON costituiscono una base di $RR^3$, quindi l'app. lin. esiste ma non e unica?
Grazie per l'attenzione

1) Esiste un'applicazione lineare t.c. $f((0),(1)) = ((2),(4))$ e $f((1),(1)) = ((1),(5))$? E` unica? Trovare $"Ker"f$ ed $"Im"f$.
Risposta: Noto che i due vettori del dominio sono lin. indip e costituiscono una base del dominio, quindi l'app.lin esiste ed è unica, giusto?

Certo.

Per trovare $"Ker"f$ ed $"Im"f$ vado a scrivermi la matrice associata alla base canonica $\{((1),(0)),((0),(1))\}$ e trovo $"Ker"f$ ponendola $= 0$ ed $"Im"f$ ponendola $= ((x),(y))$.

E che vuol dire?

2) Esiste un'applicazione lin. t.c. $f((0),(1),(1)) = ((2),(4))$ e $f((1),(0),(1)) = ((1),(5))$?
Qui cosa posso dire? Nel senso, i due vettori sono lin indip ma NON costituiscono una base di $RR^3$, quindi l'app. lin. esiste ma non e unica?

Certo.
E puoi determinarle tutte, se vuoi, usando opportuni parametri.

Fianda ha scritto:
Per trovare Kerf ed Imf vado a scrivermi la matrice associata alla base canonica {(10),(01)} e trovo Kerf ponendola =0 ed Imf ponendola =(xy).


E che vuol dire?

Nel senso che trovo e1 = v2 - v1 , con v1 = $((0),(1))$ e v2 = $((1),(1))$ quindi so che f(e1)=f(v2)-f(v1)=$((-1),(1))$, quindi la matrice associata alla base canonica su dom e codominio e` A=$((-1,2),(1,4))$.
Trovo il ker(f) ponendo A*x = 0, quindi risolvo: $((-1,2,0),(1,4,0))$ la riduco con l'eliminazione di Gauss e trovo che ker(f)= {0} e Im(f)= C^3