Esercizio: calcolo di autovalori ed autovettori di una matrice complessa e prodotto scalare Hermitiano

Ciao ragazzi, avrei bisogno di aiuto nel risolvere questo esercizio di una simulazione della mia prova d'esame scritta riguardante questa matrice complessa:

Al variare di $ z in C $, considerare la matrice $ A(z) = ( ( 4 , z^2 ),( bar(z)+1-3i , |z|^2+2 ) ) $.

(A) Stabilire per quali $ z $ la $ A(z) $ ha autovalori reali e una base ortonormale di autovettori.
(B) Provare che per tutti i valori di $ z $ trovati nel punto (A) si ha che $ <\cdot | \cdot > _ (A(z)) $ è un prodotto scalare hermitiano su $ C^2 $
(C) Per il valore di z di modulo maggiore tra quelli trovati nel punto (A), individuare tutti
i generatori del sottospazio ortogonale rispetto a $ <\cdot | \cdot > _ (A(z)) $ al vettore $ (1 − i)e_1 + (1 + 2i)e_2 $ che sono unitari rispetto al prodotto scalare hermitiano standard su $ C^2 $

Il problema sorge per tutti e tre i punti del test non sapendo risolvere subito il primo:
so determinare autovalori reali per matrici reali (attraverso il calcolo del determinante della matrice $ A - lambda I $ ) e so che una base ortonormale è una base ortogonale $ (v_1 , v_2) $ con $ v_1 \cdot v_2 = 0 $ tale che $ ( v_1/(|| v_1|| ), v_2 / (|| v_2|| ) ) $ .
Avendo però numeri complessi generici (z=a+ib) come trovo ciò che mi è richiesto.
Datemi un incipit anche per la risoluzione dei punti (B) e (C) per favore. Grazie

...Avendo però numeri complessi generici (z=a+ib) come trovo ciò che mi è richiesto...

Esattamente come nel caso delle matrici a coefficienti reali: da lì non si scappa!

Puoi utilizzare, se vuoi, la notazione esponenziale dei numeri complessi per (si spera) semplificare un po' i calcoli.

No, non mi viene, scusate. Mi perdo nella risoluzione del polinomio caratteristico dove mi compaiono un sacco di termini assurdi. Sicuramente devo applicare e considerare da subito la condizione che qualche z corrispondono ad una base ortonormale di autovettori per A prima di aver trovato i rispettivi autovalori. Ad esempio dire che il prodotto delle colonne della matrice sia 0? A cosa porta? Mi sfugge forse qualche Teorema o qualche trucco algebrico che mi possa agevolare i calcoli.
Aiutatemi vi prego. Fatemi vedere come si risolve e quali sono le radici reali del polinomio caratteristico. Grazie

...e scrivili questi calcoli!

$ det ( ( 4-lambda , z^2 ),( bar(z)+1-3i , |z|^2 +2-lambda ) ) = (4-lambda )(|z|^2 +2-lambda )- z^2 (bar(z) +1 -3i) $
con z= a+ib $ rArr lambda ^2 - (a^2+b^2 + 6)lambda + (a+ib)^2 (a-ib+3i-1) +4 (a^2+b^2) + 8 = ... $ $ = lambda ^2 - (a^2+b^2+6)lambda + a^3+ 3a^2 + 5b^2 + ab^2 -6ab + ia^2b + 3ia^2 - 2iab - ib^3 - 3ib^2 + 8 $
Carino vero?

Dato che sono graditi gli autovalori reali, la parte immaginaria dev'essere nulla; sicché (ci sono degli errori che ho corretto!)
\[
a^2b+3a^2-2ab^2+b^3-3b^2=0\\
a^2b-2ab^2+b^3+3a^2-3b^2=0\\
b(a^2-2ab+b^2)+3(a^2-b^2)=0\\
b(a-b)^2+3(a-b)(a+b)=0\\
(a-b)[b(a-b)+3(a+b)]=0\\
a=b\lor b(a-b)+3(a+b)=0
\]
e potresti usare la prima condizione (controllando tutti i calcoli pregressi) per trovare una prima condizione utile.

Rifatto i calcoli. Continua a saltarmi fuori il termine $ -2iab $ invece quello con il tuo coefficiente $ -2ab^2 $.
Comunque, considerando a=b:
$ lambda ^2 - (2a^2 + 6)lambda + 2a^3 +2a^2 +i (2a^3-2a^2) $ , (se per questa volta i calcoli sono corretti), dovrebbe essere il polinomio risultante.
Ed ora? Condizione di ortonormalità della base di autovettori che però non so com'è?

Riprendo dal calcolo del polinomio caratteristico:
\[
(4-\lambda)(a^2+b^2+2-\lambda)-(a+ib)^2(a-ib+1-3i)=\\
=\lambda^2+\lambda(-a^2-b^2-2-4)+4(a^2+b^2+2)-(a^2-b^2+2iab)(a-ib+1-3i)=\\
=\lambda^2-\lambda(a^2+b^2+6)+4(a^2+b^2+2)-(a^2-b^2)(a+1)-2iab(-ib-3i)+i(a^2-b^2)(b+3)-2iab(a+1)=\\
=\lambda^2-\lambda(a^2+b^2+6)+4(a^2+b^2+2)-(a^2-b^2)(a+1)+2ab(b+3)+i[(a^2-b^2)(b+3)-2ab(a+1)],
\]
da ciò, la condizione necessaria affinché il polinomio caratteristico abbia solo radici reali è:
\[
(a^2-b^2)(b+3)-2ab(a+1)=0\\
a^2(b+3-2b)-2a-b^2(b+3)=0\\
a^2(3-b)-2a-b^2(b+3)=0.
\]
Calcolando il discriminante di quest'ultima equazione, si ha che:
\[
\Delta(a)=4+4(3-b)b^2(b+3)=4[1+b^2(9-b^2)]\geq0;
\]
ponendo \(\displaystyle t=b^2\), si deve risolvere la disequazione
\[
1+t(9-t)\geq0\\
-t^2+9t+1\geq0\iff t^2-9t-1\leq0\\
\Delta(t)=81+4=85\Rightarrow-\frac{9+\sqrt{85}}{2}\leq t\leq\frac{-9+\sqrt{85}}{2};
\]
di conseguenza, si ha che
\[
0\leq b^2\leq\frac{-9+\sqrt{85}}{2}\\
0\leq b\leq\sqrt{\frac{-9+\sqrt{85}}{2}}
\]
ed è solo l'inizio, poiché dev'essere:
\[
a=\frac{1\pm\sqrt{1+b^2(9-b^2)}}{b-3}.
\]
Il tutto è abbastanza chiaro fin qui?

Rimarrebbe da determinare la condizione sufficiente affinché tale matrice sia diagonalizzabile...

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Che esercizio sadico!

Comunque è molto più semplice osservare che (a) equivale a che la matrice sia Hermitiana. Imponendo questo viene fuori una equazione complessa di secondo grado.

...ecco cosa m'ero sfuggito... pazienza: ho un esercizio da proporre agli studenti "sadici".