Ciao a tutti! Sto cercando di calcolare i gruppi di omologia singolare delle sfere: per fare ciò considero prima la successione esatta della coppia e faccio considerazioni su di essa.
Sia $D^n$ il disco n-dimensionale e $S^(n-1)=del D^n$ un suo sottospazio. Suppongo che i coefficienti siano in $ZZ$ senza scriverlo ogni volta
Considero la coppia $(D^n, S^(n-1))$ e quindi la seguente successione esatta:
$... rarr H_i(D^n) rarr H_i(D^n, S^(n-1)) rarr H_(i-1)(S^(n-1)) rarr H_(i-1)(D^n) rarr ...$
Ora quello che so è che, essendo il disco contraibile, ha la stessa omologia del punto che ha $H_i({p})=0$ se $i>0$ e $H_0({p}) ~= ZZ$.
Perciò nel caso in cui $i>1$ ho la seguente successione esatta:
$0 rarr H_i(D^n, S^(n-1)) rarr H_(i-1)(S^(n-1)) rarr 0$
che mi ha l'isomorfismo tra i due gruppi (per proprietà delle successioni esatte).
Adesso devo gestire il caso $i=1$. Ho la seguente:
$0 rarr H_1(D^n, S^(n-1)) rarr H_0(S^(n-1)) rarr H_0(D^n) rarr 0$
Quindi penso che ora si debba specificare anche il valore di $n$: se $n>1$ allora $S^(n-1)$ è connessa per archi e quindi $H_0(S^(n-1)) ~= ZZ$. Se invece $n=1$ allora ho due componenti connesse e perciò $H_0(S^0) ~= ZZ⊕ZZ$.
Cosa posso dire allora su $H_1(D^n, S^(n-1))$? (ammesso che sia corretto quello che ho sviluppato)