$\mathbb{P}^n(RR)$ è una compattificazione di $RR^n$

Si provi che $\mathbb{P}^n(RR)$ è una compattificazione di $RR^n$.
Diamo la definizione di compattificazione:



Abbiamo che $\mathbb{P}^n(RR)$ è compatto, consideriamo la funzione $h:RR^n->\mathbb{P}^n(RR)$ definita come $h(x_0,...,x_n)=[x_0: ...: x_n:1]$, si ha che $h$ è un immersione. Vediamo cosa è $h(RR^n)$: sia $(x_0,...,x_(n+1))$ con $x_(n+1)!=0$, allora $(x_0,...,x_(n+1))=x_(n+1)*(x_0/x_(n+1),...,x_n/x_(n+1),1)$, per cui $[x_0: ...: x_(n+1)]=[x_0/x_(n+1): ...: x_n/x_(n+1):1]inh(RR^n)$. Quindi gli elementi di $\mathbb{P}^n(RR)$ che non stanno in $h(RR^n)$ sono della forma $[x_0: ...: x_n:0]$ (diverso da $[0: ...:0]$), ma presa la successione $[x_0: ...: x_n:1/k]inh(RR^n)$ con $kinNN$ si ha che essa converge a $[x_0: ...: x_n:0]$ (ovvero è punto di accumulazione di $h(RR^n)$) per cui la chiusura di $h(RR^n)$ è tutto $\mathbb{P}^n(RR)$

Ultimo bump di andreadel1988 effettuato il 18/08/2023, 18:20.