29/08/2023, 11:04
mi pare di dedurre che se è degenere non vale mai il simbolo "=", ma solo una inclusione? E' così?megas_archon ha scritto:Degenere, in termini della rappresentazione di una applicazione bilineare \(\varphi\) come una applicazione lineare \(V\to V^\lor\), quando su $V$ scegli una base e sul duale \(V^\lor\) la base duale, significa che \(\det\varphi = 0\), il che è equivalente a \(\ker\varphi \ne (0)\). Ora, siccome \(W^{\perp\perp,\varphi} = \{v\in V\mid \forall u\in W^\perp.\varphi(v,u)=0\}\), hai che \(W\subseteq W^{\perp\perp,\varphi}\); l'uguaglianza vale quando \(\varphi\) è non degenere.
assumiamo di avere una forma phi che mi mantenga i soliti tre assi i,j,k cartesiani solo che i è ortogonale a tutti i vettori di $R^3$, sia qundi il mio $W={i}$, a questo punto mi pare che $W^⊥$ non sia altro che tutto lo spazio meno il vettore i, se faccio $((W)^⊥)^⊥$ mi sembra proprio di riottenere $W$.
2) sia di nuovo una phi che ha i vettori $i,j,k$ ortogonali come il classico prodotto scalare canonico e che sia non degenere (al nostro scopo), ma abbia in aggiunta in tal caso $i$ vettore isotropo (cioè phi-ortogonale a se stesso).
Facciamo anche qui due esempi:
- se assumo $W={i}$ è evidente che $(W)^⊥$={i} unito al piano determinato da j e k; ma ora non è che $W⊕W^⊥!=W$, proprio non vale la somma diretta perché l'ortogonale ha già un vettore di W: proprio l'isotropo stesso!
- il secondo esempio è se prendessi i di nuovo isotropo ma $W={j}$, eh beh qui mi sembra che $W^⊥$ sia il piano generato da i e k, e la somma diretta funziona eccome. Quindi non è vero che non funziona mai.
07/09/2023, 17:33
07/09/2023, 18:08
07/09/2023, 19:22
Mi sembra di no però, perché leggendo questo:assumiamo di avere una forma phi che mi mantenga i soliti tre assi i,j,k cartesiani solo che i è ortogonale a tutti i vettori di $R^3$, sia qundi il mio $W={i}$, a questo punto mi pare che $W^⊥$ non sia altro che tutto lo spazio meno il vettore i, se faccio $((W)^⊥)^⊥$ mi sembra proprio di riottenere $W$.
E' un caso degenere eppure vale l'"=", non devo quindi aver capito qualcosa della prima citazione, oppure questo esempio è sbagliato (ma onestamente mi sembra giusto).
Purtroppo i duali non li ho ancora trattati quindi ho letto per conto mio per capire il discorso, potrei quindi aver preso un granchio.
Ad esempio qui mi sembra di capire (secondo esempio quote) che possa esserci un caso in cui c'è un isotropo j però $W⊕W^⊥=W$.2) sia di nuovo una phi che ha i vettori $i,j,k$ ortogonali come il classico prodotto scalare canonico e che sia non degenere (al nostro scopo), ma abbia in aggiunta in tal caso $i$ vettore isotropo (cioè phi-ortogonale a se stesso).
Facciamo anche qui due esempi:
- se assumo $W={i}$ è evidente che $(W)^⊥$={i} unito al piano determinato da j e k; ma ora non è che $W⊕W^⊥!=W$, proprio non vale la somma diretta perché l'ortogonale ha già un vettore di W: proprio l'isotropo stesso!
- il secondo esempio è se prendessi i di nuovo isotropo ma $W={j}$, eh beh qui mi sembra che $W^⊥$ sia il piano generato da i e k, e la somma diretta funziona eccome. Quindi non è vero che non funziona mai.
08/09/2023, 19:15
Moderatore: j18eos
08/09/2023, 20:44
09/09/2023, 10:42
sia di nuovo una phi che ha i vettori $i,j,k$ ortogonali come il classico prodotto scalare canonico e che sia non degenere (al nostro scopo), ma abbia in aggiunta in tal caso $i$ vettore isotropo (cioè phi-ortogonale a se stesso).
Facciamo anche qui due esempi:
- se assumo $W={i}$ è evidente che $(W)^⊥$={i} unito al piano determinato da j e k; ma ora non è che $W⊕W^⊥!=W$, proprio non vale la somma diretta perché l'ortogonale ha già un vettore di W: proprio l'isotropo stesso!
1) assumiamo di avere una forma phi che mi mantenga i soliti tre assi i,j,k cartesiani solo che i è ortogonale a tutti i vettori di $R^3$, sia qundi il mio $W={i}$, a questo punto mi pare che $W^⊥$ non sia altro che tutto lo spazio meno il vettore i, se faccio $((W)^⊥)^⊥$ mi sembra proprio di riottenere $W$.
Stessa cosa prendendo il vettore $veci+vecj$ (ed esempio, così da non prendere proprio il degenere come prima) phi-ortogonale a tutti i vettori dello spazio e sia phi in modo che i,j, k siano ortogonali; se scegliessi $W={j}$, allora $(W)^⊥$ non sarebbe altro che ${i+j}$ unito al piano formato dalla combinazione lineare di $i$ e $k$ e di nuovo se faccio $((W)^⊥)^⊥=W$
perché questi due esempietti semplici non tornano? Non capisco se sia perché un phi come da me indicato non esista oppure un phi del genere esiste ma semplicemente anche se degenere può funzionare la formuletta dell'ortogonale dell'ortogonale? Non capisco
2) sia di nuovo una phi che ha i vettori $i,j,k$ ortogonali come il classico prodotto scalare canonico e che sia non degenere (al nostro scopo), ma abbia in aggiunta in tal caso $i$ vettore isotropo (cioè phi-ortogonale a se stesso).
- il secondo esempio è se prendessi i di nuovo isotropo ma $W={j}$, eh beh qui mi sembra che $W^⊥$ sia il piano generato da i e k, e la somma diretta funziona eccome. Quindi non è vero che non funziona mai.
mi pare di dedurre che se è degenere non vale mai il simbolo "=", ma solo una inclusione? E' così?megas_archon ha scritto:Degenere, in termini della rappresentazione di una applicazione bilineare \(\varphi\) come una applicazione lineare \(V\to V^\lor\), quando su $V$ scegli una base e sul duale \(V^\lor\) la base duale, significa che \(\det\varphi = 0\), il che è equivalente a \(\ker\varphi \ne (0)\). Ora, siccome \(W^{\perp\perp,\varphi} = \{v\in V\mid \forall u\in W^\perp.\varphi(v,u)=0\}\), hai che \(W\subseteq W^{\perp\perp,\varphi}\); l'uguaglianza vale quando \(\varphi\) è non degenere.
09/09/2023, 10:45
No, non è così, non hai capito molto di quel che ti è stato detto (e ridetto, e ridetto...).mi pare di dedurre che se è degenere non vale mai il simbolo "=", ma solo una inclusione? E' così?
09/09/2023, 10:51
Vi spiego il dubbio: come dicevate nel corso della discussione noi sappiamo solo che se la forma è non degenere => sicuramente è valido =. Se non è degenere a priori non sappiamo se sia valida o meno l'uguaglianza.
09/09/2023, 12:32
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