Esercizio applicazioni lineari (su come è definita un dubbio)

Salve,

Avrei un dubbio su un esercizio proposto:

In R3 si consideri l’endomorfismo f dato da:
f (e1) − f (e2) − f (e3) = o
2 f (e1) − f (e2) = 3e1 + 2e2 − e3
− f (e1) + f (e2) = 3e1 − e2 + 2e3.

RImaniamo in R3.
Io vorrei capire una cosa: quando io definisco una applicazione lineare so che data una base e i vettori wi ho che è unica la applicazione tale che: f(v1)0w1, f(v2)=w2, f(v3)=w3 per il teormea di esistenza e unicità di f.

Però qui mi viene data come c.l di più f(ei) per volta, e io non capisco, cosa mi garantisce che quelle tre equazioni mi danno proprio "tutta" la f?

Faccio un esempio, se io definissi una applicazione così:

f (e1) − f (e2) − f (e3)= qualcosa
2f (e1) − 2f (e2) − 2f (e3)= qualcosa
3f (e1) − 3f (e2) − 3f (e3)= qualcosa

è evidente che non funzionerebbe perché non mi bastano per definirla interamente. Uno potrebbe pensare che basta verificare la lineare indipendenza delle 3 righe allora, ma non è così perché del quote ad esempio potei avere che f(3)=0, f(e1)=0 e quindi: (f (e1), − f (e2), − f (e3)) e (2 f (e1), − f (e2), 0) apparentemente linearmente indipendenti, sono in realtà dipendenti.

Quindi come si risolvono questi dubbi, non mi vengono molte idee. Grazie

Ok forse nel frattempo ho capito ma volevo chiedere se fosse corretto.

Dal sistema resco a trovare f(e1) come c.l di e1, e2 ed e3, stessa cosa per f(e2), f(e3)

dunque avendo f(e1)=w1:=span(e1,e2,e3), f(e2)=w2:=span(e1,e2,e3), f(e3)=w3:=span(e1,e2,e3)
quindi (essendo e1, e2, e3 base canonica) ho l'immagine di ogni vettore della base e per il teorema di esistenza e unicità ho unica f. Come volevo

Corretto secondo voi? THX

Ultima modifica di catastrofico il 04/09/2023, 10:00, modificato 1 volta in totale.

Proprio nessuno puede helparme?

Ultima modifica di catastrofico il 04/09/2023, 10:23, modificato 1 volta in totale.

... cosa mi garantisce che quelle tre equazioni ...

Il fatto che il sistema sottostante:

$\{(f(e_1)-f(e_2)-f(e_3)=0),(2f(e_1)-f(e_2)=3e_1+2e_2-e_3),(-f(e_1)+f(e_2)=3e_1-e_2+2e_3):}$

nelle incognite:

$f(e_1) ^^ f(e_2) ^^ f(e_3)$

abbia una sola soluzione:

$det[[1,-1,-1],[2,-1,0],[-1,1,0]] ne 0$

Ti ringrazio per la risposta innanzitutto. però volevo capire il fatto teorico.
Come dici tu il sistema ha unica soluzione, e in forza al teorema di esistenza e unicità di f:

Ok forse nel frattempo ho capito ma volevo chiedere se fosse corretto.

Dal sistema resco a trovare f(e1) come c.l di e1, e2 ed e3, stessa cosa per f(e2), f(e3)

dunque avendo f(e1)=w1:=span(e1,e2,e3), f(e2)=w2:=span(e1,e2,e3), f(e3)=w3:=span(e1,e2,e3)
quindi (essendo e1, e2, e3 base canonica) ho l'immagine di ogni vettore della base e per il teorema di esistenza e unicità ho unica f. Come volevo

Corretto secondo voi? THX

Dovrebbe essere il motivo per cui mi basta trovare una (UNICA grazie al determinante non nullo) soluzione e esser sicuro che funzioni. E' giusto no?

Cioè vorrei capire se il fatto teorico che rende possibile ciò è quello da me dedotto.

Ultima modifica di catastrofico il 04/09/2023, 10:27, modificato 1 volta in totale.

... mi basta trovare una soluzione ...

Premesso che la soluzione deve essere unica, la condizione finale del mio primo messaggio lo garantisce. Ad ogni modo, libero di fare tutte le prove che vuoi. Il concetto è quello che hai già esposto.

Sìsì unica, non so perché ma me lo sono mangiato nelle dita: una unica soluzione volevo dire, proprio garantita dal det=0. Certamente!

Quindi ho capito, in sostanza è poi il teorema che dicevo che entra in gioco dato che per il teorema esiste (anche qui unica) f tale che f(v)=w quando a v sostituisco una base.

Mi pare che confermavi questa idea? volevo solo capire ciò.
Ti saluto e ringrazio! Alla prossima

Ultima modifica di catastrofico il 04/09/2023, 10:26, modificato 2 volte in totale.

Buon proseguimento.

Grazie!