Equazioni cartesiane

Salve a tutti,
volevo sapere come si fa a trovare le equazioni cartesiane di due entità. Cioè volevo sapere i procedimenti per trovare l'equazione cartesiana di Imf sapendo che, ad esempio, una sua base è [(1-h,1,0,-h,0),(0,-1,1,0,0)]? Inoltre se io ho questo vettore W=(a+b+c-2d, a, b, c, d) (con la condizione che a+b+c+d=0) come faccio a trovare la sua equazione cartesiana? Queste due equazioni mi servono per fare l'intersezione tra Imf e W, e volevo sapere da voi come si trovano tali equazioni. Vi ringrazio per l'attenzione

Andrea

Ciao!

Tu sai che Im(f) è generata da (1-h,1,0,-h,0),(0,-1,1,0,0), perciò ogni vettore appartenente a Im(f) è combinazione lineare di questi 2 vettori.

Allora, prendi il vettore generico (x,y,z,t,k) e scrivi il concetto in formula ovvero

Siano a,b due elementi generici del campo K associato a allo spazio vettoriale Im(f) (in questo caso immagino sia R)

(x,y,z,t,k)= a(1-h,1,0,-h,0) + b(0,-1,1,0,0)

ovvero

x= a(1-h)
y=a-b
z=b
t= -h
k=0

E queste sono le equazioni parametriche. Per ottenere le cartesiane devi eliminare i parametri a,b. Ovvero, in questo caso, dato che z=b, a= y-b=y-z si ha

x=(y-z)(1-h)
t=-h
k=0

Ricorda di considerare h come un numero, non come un parametro! Quindi non devi ad esempio, dato che t=-h sostituire nella 1 e fare x=(y-z)(1+t) ! Devi infatti ottenere equazioni lineari, e quest'ultima non lo è.

Ora, hai W [che è uno spazio vettoriale, non un vettore], W=<(a+b+c-2d,a,b,c,d)> ovvero in altri termini
se (x,y,z,t,k) è un vettore di W si ha

(x,y,z,t,k)=(a+b+c-2d,a,b,c,d) per opportuni a,b,c,d, tali inoltre che a+b+c+d=0

ovvero hai

x=a+b+c-2d -> x=a+b+c+d -3d -> x=0 -3d -> x=-3d -> x=-3k
y=a
z=b
t=c
k=d

qui per ottenere le equazioni cartesiane, basta osservare che y,z,t,k variane come pare a loro, infatti se noti dipendono da parametri indipendenti tra loro ( y=a. Metti che a sia 3, hai y=3. Adesso considera z, che è uguale a b. Come vedi non dipende dal valore di a, cioè 3. Potrebbe essere 2, 4, 1000... Idem gli altri)
L'unica variabile legata ad un altra è x, che assume un valore legato a k.

Quindi l'unica relazione è x=-3k e questa è l'equazione cartesiana di W.

In generale quando hai delle equazioni parametriche per ottenere le cartesiane devi eliminare i parametri lavorando appunto sul sistema lineare.

Spero di essere stata chiara ed esaustiva...!

Paola

Ciao Paola! Grazie, sei stata chiara ed esaustiva, come al solito!
Un'ultima cosa: tu hai ottenuto alla fine, per Imf

x=(y-z)(1-h)
t=-h
k=0

per W:

x=-3k

Adesso devo mettere a sistema queste equazioni e risolverlo giusto?

Ho una perplessità: nel mio testo (che ti ripeto, non tratta in maniera esplicita, quindi con esempi, questo argomento) l'equazione cartesiana di Imf la trova in questo modo, che io comunque non ho capito:

(prendendo come esempio questa base di Imf [(1,0,0,1),(-1,2,0,3),(1,2,1,0)])

$|(x,y,z,t),(1,0,0,1),(-1,2,0,3),(1,2,1,0)| = 0 rArr x+2y-5z-t=0$

E poi mette questa equazione a sistema con un'altra per fare l'intersezione.
Tu sai come si è giunti dalla matrice all'equazione?
Ed in ogni caso, è equivalente il tuo ragionamento a questo che ti ho esposto ora?

Scusami se faccio troppe domande, ti ringrazio tantissimo per la tua pazienza!!!

La costruzione di quella matrice significa: dato che i vettori di Im(f) son combinazione lineare di (1,0,0,1),(-1,2,0,3),(1,2,1,0), prendo un vettore generico (x,y,z,t) e metto tutti e 4 in una matrice, imponendo che il determinante sia 0, ovvero che appunto queste 4 righe siano linearmente dipendenti.

Infatti il determinante di una matrice è nullo se le sue righe sono linearmente dipendenti e tu, appunto perchè sai che (x,y,z,t) vettore di Im(f) è combinazione lineare di (1,0,0,1),(-1,2,0,3),(1,2,1,0), sai anche che la matrice avente per righe questi 4 vettori deve avere determinante nullo.

Calcolando il determinante e ponendolo uguale a 0 otterrai l'equazione.

Il procedimento è equivalente, in questo caso è comodo perchè la matrice risulta piena di 0 e 1, è più comodo da calcolare!

Paola