Norma di un vettore

Salve a tutti e grz in anticipo a chiunque mi aiuti.
Cito dal libro di algebra lineare:

[...] PS 4. Se A = O è il vettore nullo, allora A$\dot$A = 0; in ogni altro caso abbiamo A$\dot$A>0 [con $\dot$ prodotto scalare di vettori]

La disuguaglianza che ora proveremo è chiamata disuguaglianza di Schwarz ed è di fondamentale importanza nella teoria dei vettori.

Teorema 1 Siano A, B due vettori, allora

$(A$$\dot$$B)^2$ $\le$ (A$\dot$A)(B$\dot$B)

Dimostrazione. Sia x = B$\dot$B e y= -A$\dot$B; da PS 4 segue allora

0 $\le$ (xA+yB)$\dot$(xA+yB)

Sviluppando il secondo membro di questa disuguaglianza si ha

0 $\le$ $x^2$(A$\dot$A) + 2xy(A$\dot$B) + $y^2$(B$\dot$B)

Sostituendo i valori di x e y si ottiene

0 $\le$ $(B$$\dot$$B)^2(A$$\dot$$A)$ - 2 $(B$$\dot$$B)(A$$\dot$$B)^2$ + $(A$$\dot$$B)^2(B$$\dot$$B)

Se B = 0, la disuguaglianza da provare è ovvia essendo nulli entrambi i membri. Se B$\ne$0, allora B$\dot$B$\ne$0 e possiamo quindi dividere l'ultima espressione per B$\dot$B ottenendo

0 $\le$ $(A$$\dot$$A)(B$$\dot$$B)$ - $(A$$\dot$$B)^2$

La dimostrazione si conclude portando il termine -$(A$$\dot$$B)^2$ nel primo membro.

Non riesco a capire da dove sbuchi fuori quel (xA+yB)$\dot$(xA+yB) nella prima disequazione.
Spero possiate aiutarmi a capire.
Grazie, ciao.

Ultima modifica di malcom.f il 20/10/2006, 14:45, modificato 1 volta in totale.

Salve a tutti e grz in anticipo a chiunque mi aiuti.
Cito dal libro di algebra lineare:

[...] PS 4. Se A = O è il vettore nullo, allora A$\dot$A = 0; in ogni altro caso abbiamo A$\dot$A>0 [con $\dot$ prodotto scalare di vettori]

La disuguaglianza che ora proveremo è chiamata disuguaglianza di Schwarz ed è di fondamentale importanza nella teoria dei vettori.

Teorema 1 Siano A, B due vettori, allora

(A$\dot$B) $\le$ (A$\dot$A)(B$\dot$B)

Dimostrazione. Sia x = B$\dot$B e y= -A$\dot$B; da PS 4 segue allora

0 $\le$ (xA+yB)$\dot$(xA+yB)

Sviluppando il secondo membro di questa disuguaglianza si ha

0 $\le$ $x^2$(A$\dot$A) + 2xy(A$\dot$B) + $y^2$(B$\dot$B)

Sostituendo i valori di x e y si ottiene

0 $\le$ $(B$$\dot$$B)^2(A$$\dot$$A)$ - 2 $(B$$\dot$$B)(A$$\dot$$B)^2$ + $(A$$\dot$$B)^2(B$$\dot$$B)

Se B = 0, la disuguaglianza da provare è ovvia essendo nulli entrambi i membri. Se B$\ne$0, allora B$\dot$B\$ne$0 e possiamo quindi dividere l'ultima espressione per B$\dot$B ottenendo

0 $\le$ $(A$$\dot$$A)(B$$\dot$$B)$ - $(A$$\dot$$B)^2$

La dimostrazione si conclude portando il termine -$(A$$\dot$$B)^2$ nel primo membro.

Non riesco a capire da dove sbuchi fuori quel (xA+yB)$\dot$(xA+yB) nella prima disequazione.
Spero possiate aiutarmi a capire.
Grazie, ciao.

Ha sfruttato la proprietà che il prodotto scalare è $A*A>=0$ ed $A*A=0$ $<=>$ $A=0$ ed ha applicato tale proprietà al vettore $xA+yB$

La dimostrazione l'ho capita, non è quello il problema.
Non capisco da dove sia stato preso, o desunto, il termine di destra della prima disequazione nella dimostrazione.

La dimostrazione l'ho capita, non è quello il problema.
Non capisco da dove sia stato preso, o desunto, il termine di destra della prima disequazione nella dimostrazione.

è uno dei modi per dimostrare la tesi: si parte da una affermazione vera e si deduce la tesi.

nicasamarciano mi stai prendendo in giro?
Ti ho detto che la dimostrazione non è un problema. il problema è il termine di destra della prima disequazione.
Vorrei capire perchè stato preso il vettore (xA + yB) e non (A+B) oppure qualsiasi altro vettore.

nicasamarciano mi stai prendendo in giro?
Ti ho detto che la dimostrazione non è un problema. il problema è il termine di destra della prima disequazione.
Vorrei capire perchè stato preso il vettore (xA + yB) e non (A+B) oppure qualsiasi altro vettore.

1) non prendo in giro nessuno
2) la domanda non dovresti nemmeno porla se hai capito la dimostrazione : si prende quel vettore perchè partendo dal prodotto scalare per se stesso si riesce a dimostrare la tesi: saresti capace di dimostrare la tua tesi prendendo un altro vettore? Se sì fammi vedere

Lasciamo perdere evidentemente non sono capace di esprimermi.
Cmq, esiste un preciso motivo, al dilà del fatto che quello dimostra la tesi, per cui è stato scelto quel vettore. io vorrei conoscere quel motivo.

Lasciamo perdere evidentemente non sono capace di esprimermi.
Cmq, esiste un preciso motivo, al dilà del fatto che quello dimostra la tesi, per cui è stato scelto quel vettore. io vorrei conoscere quel motivo.

Senti il motivo per il quale viene utilizzato quel vettore è la dimostrazione della tesi. Punto e basta, non c'è nessun altro motivo.

Alle volte per dimostrare qualcosa (tipicamente le disuguaglianze) servono degli arguti trucchetti.
Crescendo poi si impara un pochino a familiarizzarsi con queste cose e a capire qual è il trucco giusto per fare quella certa dimostrazione.
Ma non c'è nulla dietro se non un po' d'intuito matematico...

@malcolm.f
mi pare che la tua domanda sia: "cercare di capire come mai a uno gli è passato per la testa di usare quel trucco"

condivido sostanzialmente quello che dice Irenze

anche se sono posizionato un po' meno nella direzione dei trucchi, rispetto alle cose che dice lei: credo che, abituandosi alla matematica, molti di quelli che sembravano trucchi trovino una loro ragione
ma la divergenza con Irenze, direi, è solo questione di "percentuali"

ora vengo alla tua domanda specifica
perché diavolo uno tira fuori "0 $\le$ (xA+yB)$\dot$(xA+yB) "?

Bene, si vuol dimostrare:
(A$\dot$B) $\le$ (A$\dot$A)(B$\dot$B)

noto che a sinistra c'è un prodotto, e a destra dei quadrati
questo mi ricorda una cosa che gli si avvicina: $(A+B)\cdot(A+B)$
vabbé, c'è un doppio prodotto, ma a parte questo "dettaglio", è una cosa non negativa e mi dà quasi la tesi

c'è anche un problema di segno!
ma per questo posso provare con $(A-B)\cdot(A-B)$

allora provo ad esplorare le "vicinanze"
cioè provo ad usare un termnie simile a quello
anzi, già che ci sono generalizzo:
$(xA+yB)\cdot(xA+yB)$
tanto, è sempre non negativo
e "giocando" con i parametri x ed y (che sono, notare, a mia completa disposizione) spero di arrivarci

il resto va da sé

non so se tu vedi ancora dei "buchi di intuizione" in questo approccio
ma mi sento di dire, in tutta onestà, che qualche passo "intermedio" l'ho fatto

ciao e complimenti per i tuoi "dubbi"
è anche così che si impara la matematica, quella vera