Il calcolo di $f^(-1)$ e' giusto, come pure quello della parita' di f.
Tuttavia quest'ultimo e' fatto tramite il conto delle inversioni che puo'
diventare materialmente assai laborioso se il numero dei termini e' alto.
Esiste al riguardo il metodo delle trasposizioni che consiste nel ridurre
la permutazione in oggetto in prodotto di cicli e poi di cicli semplici ovvero
formati da 2 soli elementi (trasposizioni).
Nel caso di $f = ((1,2,3,4,5),(5,4,3,2,1))$ sono presenti due soli cicli
$(15)$ e $(24)$ che sono gia' trasposizioni.Pertanto si ha:
$f=(15)(24)$ e poiche' le trasposizioni di f sono in numero pari anche f e' di classe pari.
Quanto al quesito $fg=gf$ la soluzione e' abbastanza facile se f contiene almeno
due elementi fissi.In tal caso infatti g si puo' ottenere semplicemente permutando
in un modo qualsiasi questi elementi fissi.Nel caso nostro vi sono 3 elementi fissi :1,3,5
e quindi vi sono 3!-1=5 possibilita' (bisogna escludere il caso g=f).Scegliendo per
esempio la permutazione 5,1,3 si ha:
$f=((1,2,3,4,5),(1,4,3,2,5)) $,$g=((1,2,3,4,5),(5,4,1,2,3)) $ e risulta:
$fg=((1,2,3,4,5),(5,2,1,4,3))=gf $ che e' cio' che si voleva ottenere.
Aggiungo pero' che la presenza di elementi fissi e' una condizione sufficiente
ma non necessaria perche' esista una g tale che commuti con f.
Per esempio le permutazioni di $S_6$ date da:
$f=((1,2,3,4,5,6),(6,4,5,2,3,1));g=((1,2,3,4,5,6),(4,5,1,3,6,2))$
commutano cioe' fg=gf ma f non ha elementi fissi.
Per il significato di $S_5$ e di $S_(15)$ e per quello che e' in mia conoscenza,
in genere con $S_n$ si indica l'insieme delle n! permutazioni su n oggetti
distinti ad ognuno dei quali si fa corrispondere un indice da 1 ad n in modo
che mai 2 oggetti abbiano lo stesso indice (tra l'altro questo insieme e'
un gruppo,rispetto al prodotto di permutazioni, detto
gruppo simmetrico).
Forse dovresti precisare meglio la questione.
karl
Ultima modifica di karl il 22/10/2006, 11:28, modificato 1 volta in totale.