Spazi vettoriali

Ciao a tutti... vorrei proporvi un esercizio per confrontare il vostro metodo di risouzione con il mio:

1) Verificare che $V=[(a-2,b+1,a-b+c) in RR^3 | 3a+2b+c=1]$ è sottospazio di $RR^3$ e calcolarne la dimensione...

Ciao

Scrivere $V$ in quel modo è equivalente a scrivere:
$V={(t-2,s+1,-3s-2t+1):t,s in RR}
(basta prendere $3a+2b+c=1$, parametrizzare
due di queste variabili ed esprimere la terza
in funzione delle altre due, io ho posto $a=t$, $b=s$
e di conseguenza $c=1-2s-3t$).
Quindi è evidente che abbiamo ottenuto le equazioni
parametriche di un piano in $RR^3$, perché il generico
vettore $((t-2),(s+1),(-3s-2t+1))$ è soluzione di un sistema
lineare di un'equazione in tre incognite, che per questo
ammette $oo^2$ soluzioni (infatti 2 parametri: t ed s);
queste equazioni sono:
${(x=t-2),(y=s+1),(z=-3s-2t+1):}
che è come scrivere:
$((x),(y),(z))=((-2),(1),(1))+t((1),(0),(-2))+s((0),(1),(-3))

e i vettori $((1),(0),(-2))$ e $((0),(1),(-3))$ sono linearmente
indipendenti, quindi costituiscono una base di V, e abbiamo $dimV=2$.

Chiaramente si può ricavare l'eq. cartesiana
da quelle parametriche e si ottiene: $2x+3y+z=0$.