applicazioni lineari spazi vettoriali

Per il punto f: $U={(x,y,x) in RR^3 | x+y+z=0}={(x,y,z)in RR^3 | x=-z-y}={(-z-y,y,z)|y,z in RR}={(-z,0,z)+(-y,y,0)| y,z in RR}=langle (-1,0,1),(-1,1,0) rangle$.
Ora, calcolo $T(1)(-1,0,1)$ e $T(1)(-1,1,0)$ e ottengo l'immagine di $U$: $T(U)=langle (1,0,0,2) rangle$ (è di dimensione 1 perchè si ottengono due vettori linearmente dipendenti.)

Per il punto g, poichè noto che u,v,w sono linearmente indipendenti, questi sono una base di $RR^3$, quindi $W=RR^3$. Banalmente, dunque, $U nnn W=U$, e una sua base è una base di $U$.

Punto i: poichè $Im T=langle (1,1,1,3),(0,1,1,1)rangle$, allora $t$, per appartenervi, deve potersi scrivere come combinazione lineare di questi due vettori.
Da $alpha(1,1,1,3)+beta(0,1,1,1)=(1,k,0,k+2)$ ottieni un sistema lineare. Banalmente, $alpha=1$ e $beta=-1$, perciò $k=0$. Infatti per $alpha=1$, $beta=-1$ si ottiene $(1,0,0,2)$, overo il vettore $t$ con $k=0$.

$T$ non è suriettiva perchè $T(RR^3) ne RR^4$.

Ti Ringrazio di cuore.
In questi giorni rifaro' l'esercizio e lo confrontero'
con cio' che mi hai risposto.

Grazie, Ciao