Sottospazi lineari

mah, per me la risposta alla domanda 2) è che quel sottospazio coincide con tutto lo spazio vettoriale
per la ragione che $0$ è un monomio di grado zero in $x$
e, quindi, "è dappertutto"
quindi una base sarebbe $x^my^n$ con $m,n$ interi maggiori o uguali a zero (insomma, la stessa per i polinomi nelle due variabili $x$ ed $y$)

Grazie ho capito, ora provo a scrivere una base per il terzo.

Per 3) mi è venuto in mente questo:

$((x^{h+k}+y^{k}),(x^{\alpha + \beta}y^{\beta}))$ $\forall k, \beta \in \mathbb{N}$, $\forall h, \alpha \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$

Sia $\mathcal{V}$ lo spazio vettoriale dei polinomi nelle due variabili $x,y$ a coefficienti in un dato campo $\mathcal{K}$. Considerare i seguenti sottoinsiemi di $\mathcal{V}$. Per ciascuno di essi, dire se forma un sottospazio lineare di $\mathcal{V}$

3) L'insieme dei polimomi che hanno grado in $x$ superiore al grado in $y$.

risposta ad "istinto" (derivante dalla abitudine alla mate):
"superiore" puzza di disuguaglianza, di unilaterale, quindi non dovrebbe essre un sottospazio, che è una robba "simmetrica"

poi, una cosa che mi dà fastidio è l'uso del termine "superiore". Che diavolo è? Maggiore stretto o maggiore o uguale? Presumo maggiore stretto...

vediamo se l'intuizione funge:
$x^2 + 2y$ sta nel sottoinsieme
anche $x^2 + y$
Ma la differenza no: viene $y$ che non ci sta (qualunque sia l'esegesi di "superiore")