Distribuzione normale e matrici

Sia $bar X$ un vettore di $n$ variabili aleatorie congiuntamente gaussiane e sia $C$ la matrice di covarianza di $bar X$.
Sia inoltre $A$ una matrice di numeri reali $nxn$ e consideriamo il vettore di variabili aleatorie $bar Y$ dato dal prodotto della matrice $A$ per $bar X$, dunque ogni elemento di $bar Y$ è una combinazione lineare di v.a. congiuntamente gaussiane; indichiamo con $D$ la matrice di covarianza di $bar Y$.

Alla luce di ciò, è vero che $D = A C A^T$ ? (l'apice $T$ indica la matrice trasposta)

In caso affermativo, se possibile, fornirne una dimostrazione.

Alla luce di ciò, è vero che $D = A C A^T$ ? (l'apice $T$ indica la matrice trasposta)

In caso affermativo, se possibile, fornirne una dimostrazione.

Sì, è vero. Dim:

abbiamo che $ulX~N(ulmu,ululC)$, calcolo la funzione generatrice dei momenti di Y:

$m_(ulY)(ult)=E[exp(ult^TululAulX)]=m_(ulX)(ululA^Tult)=exp(1/2ult^TululAululCululA^Tult+ult^TululAulmu)$

che è la funzione generatrice dei momenti di un vettore gaussiano $ulY~N(ululAulmu,ululAululCululA^T)$