vettori

Buon pomeriggio, ho bisogno di un piccolo aiuto in un esercizio.
Sia V il sottospazio vettoriale di R^4 generato dai vettori v= (0 2 0 1) e w= (3 0 2 0)
la richiesta è la seguente: determinare i valori di k per cui il vettore h= (0 2 k-k^2 k^2) appartiene a V

allora io ho ragionato nel seguente modo: v e w sono due vettori Linearente indipendenti quindi loro formeranno sicuramente una base per V ma a questo punto come faccio a trovarmi i valori di k?
la dimensione di V è 2 poi
grazie per chiunque mi aiuterà

Benvenuto/a.

La dimensione di un sottospazio è uguale alla cardinalità di ogni sua base (quindi \(V\) ha dimensione \(2\)). Riscrivo i 3 vettori come vettori colonna per leggerli più facilmente :
\(\displaystyle v = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\), \(\displaystyle w=\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\displaystyle h=\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ k-k^2 \\ k^2 \end{pmatrix} \).

In generale richiederebbe di fare qualche calcolo in più, ma in questo caso è piuttosto evidente che \(\displaystyle h \) debba essere uguale a \(\displaystyle v \) (osserva con attenzione le prime due righe dei tre vettori). Ovvero si deve avere \(\displaystyle k = 1 \).