Sommatoria quadrati primi n dispari

Buongiorno a tutti,

E' passato del tempo da quando studiavo matematica a scuola, quindi vi prego di scusarmi se la domanda risultasse banale o completamente fuori da ogni logica.

Come da titolo, sto cercando di fare un piccolo esercizio in cui si calcola la somma dei quadrati dei primi numeri N naturali (> 0) dispari.

Io sto cercando di trovarmi una formula ma credo di essere parecchio fuori strada, almeno con il risultato finale.

Ecco il mio processo mentale:

in "matematichese" (come piace dire al mio ex prof di matematica) quello che vorrei dovrebbe essere questo:

$\sum_{i=0}^\N\(2i -1)^2$

Scompongo:

$\sum_{i=0}^\N\4i^2+2-4i$

Somma di sommatorie:

$4\sum_{i=0}^\N\i^2 \+\2\sum_{i=0}^\N\1 \-\ 4\sum_{i=0}^\N\i$

Sapendo che

$\sum_{i=0}^\N\i\=\((N(N-1)) / 2)$

e

$\sum_{i=0}^\N\i^2\=\((N(N-1)(2N+1)) / 6)$

ne deduco che

$4\((N(N-1)(2N+1)) / 6)\ + \ 2N \ - \ 4\((N(N-1)) / 2)$

Ora, senza neanche andare oltre posso già verificare che c'è qualcosa di sbagliato perchè se sostituisco 1 ad N, ho 2 che è ovviamente errato.

Cosa c'è di sbagliato in questo processo? Davvero non riesco a spiegarmelo.

Grazie a tutti per il potenziale supporto.

Andrea

Dimenticavo:

Buon Pi Day a tutti!

Ora che ci penso:

potrebbe essere che in realtà io voglia trovare $sum_{i=0}^\(N/2)$ invece di $sum_{i=0}^\N$ ?

E' quasi corretto, nel senso che nella sommatoria devi metterci $2i+1$, come hai scritto te la sommatoria diventa $(-1)^2+(1)^2+(3)^2....$

Ciao Ernesto,

Prima di tutto grazie tante per il tuo supporto.

Purtroppo sto facendo fatica a vedere la soluzione che mi hai proposto.

Posso chiederti la gentilezza di estendere la spiegazione?

Grazie!

Hai sbagliato anche dell'altro, notato solo adesso. Dunque teniamo il tuo $(2i-1)$, però l'indice inizia da $i=1$
$sum_{i=1}^\N\(2i-1)^2=sum_{i=1}^\N\(4i^2-4i+1)= 4 ((N+1)(N)(2N+1))/6- 4(((N)(N+1))/2)+N$ e questo è quanto

Salve Ernesto,

Grazie mille per la correzione e per la spiegazione. Sembra che la formula sia corretta.

Dopo averla semplificata, questa è la forma finale:

$ sum_{i=1}^\N\(2i-1)^2=(4N^3 - N)/3 $

Per quanto riguarda il topic, la risposta è stata data e sono più che contento, grazie!

Solo per un atto di curiosità aggiungo una seconda parte: la consegna completa dell'esercizio è di calcolare la differenza tra i quadrati dei primi N numeri pari, e quelli dispari.

Nella mia mente stavo quindi pensando che il processo dovrebbe essere:

$ sum_{i=1}^\N\(2i-1)^2 \-\ sum_{i=1}^\N\2i^2 $

quindi

$ 4 ((N+1)(N)(2N+1))/6- 4(((N)(N+1))/2)+N - 2 ((N+1)(N)(2N+1))/6 =$

$ 2 ((N+1)(N)(2N+1))/6- 4(((N)(N+1))/2)+N $

ma non riesco a far quadrare i conti....

Alla fine ho risolto trovando i pari facendo il totale dei quadrati meno i dispari, ma è poco elegante:

$ sum_{i=1}^\N\i^2 \-\ sum_{i=1}^\N\(2i-1)^2 $

$sum_{i=1}^\N\(2i)^2 - sum_{i=1}^\N\(2i-1)^2$ scritto così è leggermente più corretto, dato che volevi fare i quadrati dei pari meno i quadrati dei dispari. Il tuo errore è stato scrivere $2i^2$ invece che $(2i)^2=4i^2$

A questo punto avresti, $sum_{i=1}^\N\(4i^2-4i^2+4i-1)=sum_{i=1}^\N\(4i-1)= 4((N+1)N)/2-N=2((N+1)N)-N$=

:O

Alla fine tutto il problema si riassume in una formula così semplice?

$ 2N^2 + N $ ?

Che asino che sono.... sia per gli errori che mi hai corretto, sia per il processo mentale....

Grazie Ernesto per avermi aiutato.... se solo avessi saputo la potenza della matematica quando ero a scuola....