Immersione isometrica delle varietà

Nash ha dimostrato che le n-varietà differenziabili (io le intendo $C^\infty$) sono isometricamente immergibili in $RR^N$, e possiamo prendere $N=n(3n+11)/2$.(in realtà lui lo ha dimostrato solo per le varietà compatte, in generale lo ha dimostrato un altro). Solo che questo $N$ non è necessariamente il migliore possibile, ad esempio per $n=2$ è stato dimostrato che il migliore $N$ possibile è 5 invece di 17, che è il risultato della formula per $n=2$.
Ciò che vi chiedo è qual è il migliore $N$ possibile per $n=1$? Ancora meglio sarebbe se mi deste una fonte (link o altro) che elenca i migliori $N$ per alcuni valori di $n$, anche piccoli.

Faccio un up di questo thread chiedendo in aggiunta una cosa collegata: se ho una 2-varietà immersa in $RR^n$, con $n>5$, esiste sempre un sottospazio affine di $RR^n$ di dimensione 5 che include la mia varietà?
Più in generale, questo vale per varietà di ogni dimensione per $n>N$, dove $N$ è lo quello che descrivevo nel post precedente?

Up

Ciò che vi chiedo è qual è il migliore $N$ possibile per $n=1$? Ancora meglio sarebbe se mi deste una fonte (link o altro) che elenca i migliori $N$ per alcuni valori di $n$, anche piccoli.

Una varietà di dimensione $1$ è un'unione disgiunta di rette e circonferenze (in quantità al più numerabile), che si immergono in $RR^2$ (il fatto che ci sia anche una metrica non dovrebbe creare problemi, perché in dimensione $1$ tutte le metriche sono piatte, quindi dovrebbe bastare prendere in considerazione le metriche "classiche" su $RR$ e su $S^1$).

se ho una 2-varietà immersa in $ RR^n $, con $ n>5 $, esiste sempre un sottospazio affine di $ RR^n $ di dimensione 5 che include la mia varietà?
Più in generale, questo vale per varietà di ogni dimensione per $ n>N $, dove $ N $ è lo quello che descrivevo nel post precedente?

No, perché un'immersione può essere "perturbata" in modo che l'immagine non sia contenuta in nessun sottospazio affine. Per dirlo in modo rigoroso si può procedere così:

Lemma: Se $p_1,...,p_m,q_1,...,q_m$ sono punti in $RR^n$ tali che $p_i ne p_j$ e $q_i ne q_j$ $forall i ne j$, esiste un diffeomorfismo $psi:RR^n rightarrow RR^n$ tale che $psi(p_i)=q_i$ $forall i$.

Dando per buono questo risultato, se $f:M \rightarrow RR^n$ è un'immersione di varietà, puoi prendere $n+1$ punti distinti in $f(M)$ e scegliere $psi:RR^n \rightarrow RR^n$ che li manda in $n+1$ punti affinemente indipendenti di $RR^n$: essendo $psi$ un diffeomorfismo, $psi \circ f$ è ancora un'immersione, ma nessun sottospazio affine può contenere l'immagine perché non può contenere tutti gli $n+1$ punti.

Chiedo scusa, la seconda parte non funziona perché dimenticavo che stiamo parlando di immersioni isometriche... la risposta dovrebbe essere comunque no, perché a occhio è sempre possibile costruire una sottovarietà di $RR^n$ contenente $n+1$ punti affinemente indipendenti.