Unione della chiusura di una famiglia di insiemi

Salve a tutti,

la problematica è la seguente. Si riesce a dimostrare che se $A$ e $B$ sono due sottoinsiemi di uno spazio topologico $X$ si ha \[
\overline{A\cup B}=\bar{A}\cup\bar{B}.
\]

Si riesce a vedere, mediante l'utilizzo di esempi, che per l'unione infinita non vale l'uguaglianza, bensì
\[
\bigcup_{i=1}^{+\infty} \bar{A_{i}}\subseteq \overline{\bigcup_{i=1}^{+\infty} A_{i}}
\]

mi chiedevo se esistono delle ipotesi, magari sui singoli insiemi $\{A_{i}\}_{i\in\mathbb{N}}$ tali da poter affermare che

\[
\bigcup_{i=1}^{+\infty} \bar{A_{i}}=\overline{\bigcup_{i=1}^{+\infty} A_{i}}
\]

Vi ringrazio

Si dimostra che
\[
\overline{\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i} = \bigcup_{i=1}^{\infty} \overline{A_i} \cup \bigcap_{i=1}^{\infty} \overline{\bigcup_{j=0}^{\infty} A_{i+j}}
\] sicché la chiusura commuta con le unioni infinite se e solo se \(\bigcap_{i=1}^{\infty} \overline{\bigcup_{j=0}^{\infty} A_{i+j}}\) è vuoto.

Grazie per la risposta.
Quindi, se gli $\{A_{i}\}_{i\inmathbb{N}}$ sono disgiunti abbiamo l'uguaglianza, vero?

No. Prendi $A_j=\{q_j} $ dove i $q_j$ sono una enumerazione dei razionali.

Perfetto, grazie . E se aggiungiamo la condizione $\bigcup_{n=1}^{+\infty} A_{n}$
limitata, cosi come ogni $\{A_{n}\}$ possiamo dire qualcosa in più?

Ultima modifica di elatan il 22/04/2018, 17:47, modificato 1 volta in totale.

No, prendi $A_n={1/n}$

Grazie!

Perfetto, grazie . E se aggiungiamo la condizione $\bigcup_{n=1}^{+\infty} A_{n}$
limitata, cosi come ogni $\{A_{n}\}$ possiamo dire qualcosa in più?

Ma cosa significa "limitato" in uno spazio topologico? Nulla.

Si, mi sono reso conto di aver detto una fesseria.