Esercizio svolto Cambio di Base: così è corretto?

Ciao a tutti! Penso di aver risolto il seguente esercizio d'esame ma sarebbe veramente d'aiuto un vostro riscontro, grazie in anticipo dell'aiuto! Cerco di essere il più chiaro possibile, l'esercizio è il seguente:

Consideriamo un'applicazione lineare $F : RR^2 -> RR^2$ t.c.: $ F[(2),(3)]=[(1),(0)]$ ed $F[(1),(2)]=[(0),(1)]$
(1) Scrivere la matrice $[F]$ di $F$ rispetto alle basi standard.
(2) Scrivere la matrice $[F]^((v_1v_2),(w_1w_2))$ rispetto alla base di partenza $v_1=[(0),(1)], v_2=[(1),(1)]$ e rispetto alla base di arrivo $w_1=[(2),(3)],w_2=[(1),(2)]$.

Non sono molto familiare con il metodo del coniugio e mi piacerebbe capire se questo procedimento svolto nel compito sia giusto o meno, quindi ho fatto come segue:
(1) Scrivo $[(1),(0)]$ come combinazione lineare di $v_1,v_2$ ottenendo: $[(1),(0)]=2*[(2),(3)]-3*[(1),(2)]$.
Stesso per $[(0),(1)]=-1*[(2),(3)]+2*[(1),(2)].$
Avrò quindi per linearità che che $F[(1),(0)]=2*F[(2),(3)]-3*F[(1),(2)]=[(2),(0)]+[(0),(-3)]=[(2),(-3)]_(st)$
e che $F[(0),(1)]=-F[(2),(3)]+2*F[(1),(2)]=[(-1),(0)]+[(0),(2)]=[(-1),(2)]_(st)$.
Avrò quindi che $[F]$ rispetto alle basi standard sarà: $((2,-1),(-3,2))$.

(2)Con lo stesso metodo scrivo i vettori della base di partenza $v_1,v_2$ rispetto alla base standard ottenendo che:
$F[v_1]=F[(0),(1)]=0*F[(1),(0)]+1*F[(0),(1)]=[(-1),(2)]_(st)=v'_1$ che è semplicemente la seconda colonna della matrice in basi standard.
Stesso per $F[v_2]=F[(1),(1)]=F[(1),(0)]+F[(0),(1)]=[(2),(-3)]+[(-1),(2)]=[(1),(-1)]_(st)=v'_2$
Adesso devo prendere i singoli vettori colonna $v'_1, v'_2$ e scriverli rispetto alla base $w_1,w_2$ come $[(alpha),(beta)]$ dove $alpha,beta$ devono soddisfare:
$v'_1=[(-1),(2)]=alpha*[w_1]+beta*[w_2]=alpha*[(2),(3)]+beta*[(1),(2)]$ ottenendo il vettore $[(alpha=-4),(beta=7)]$ che dovrebbe essere proprio $v'_1$ espresso rispetto a $w_1,w_2$.
Stesso con $v'_2=alpha*[(2),(3)]+beta*[(1),(2)]=3*[(2),(3)]-5*[(1),(2)]$ quindi $v'_2$ rispetto a $w_1,w_2$ sarà il vettore $[(alpha=3),(beta=-5)].$ Mettendo assieme le informazioni ottenute avrò che:
$[F]^((v_1v_2),(w_1w_2))=((-4,3),(7,-5))$

mi sembra vada tutto bene

Okay, grazie del tuo tempo