Applicazione lineare con polinomi

In genere si scrive \(\displaystyle\mathbb{R}[x]_{\leq3}=\mathbb{V}\), altrimenti uno potrebbe capire che tu consideri lo spazio vettoriale dei polinomi di grado \(\displaystyle3\) e non di grado al più \(\displaystyle3\).

Fine prima parte.

Lo so, ma non riuscivo a scriverlo.

[…] [Si consideri la seguente] applicazione lineare

$ F: qquad RR[x]_(<=3)->mathbb(K)^4 $

definita come

$ F(p(X))=((p(0)),(p(1)),(p(2)),(p(3))) $

rispetto alla base $mathcalB:={1,x,x(x-1),x(x-1)(x-2)} $. Devo scrivere la matrice associata a $F$.

Pensavo di risolverlo trovando la matrice associata rispetto alla base canonica e passare per il cambiamento di base.

Cos'è una matrice associata per te? Io considererei la matrice $M_(mathcal(EB))(F)$ (¹) dove $mathcalB$ è la base data e $mathcalE$ è la base canonica di $mathbbK^4$.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

@magma a occhio e croce dovrà calcolare l’applicazione inversa

Ti piace vincere facile

Non ho capito , se invece lo facessi direttamente scrivendo $ p(0)=ao;
p(1)=a0+a1+a2+a3;
p(2)=a0+2a1+4a2+8a3;
p(3)=a0+3a1+9a2+27a3; $
e poi valutando nella base $ \mathcal(B) $ mi verrebbe $ \mathcal(( ( 1 , 0 , 0,0 ),( 1,1,0,0),( 1,2,2,0 ),( 1,3,6,6 ) ) ) $

---

Note

1. Le componenti delle immagini dei vettori della base $mathcalB$ rispetto la base $mathcalE$: i.e. $[F(b_i)]_mathcalE$ ↑

Se invece lo facessi direttamente scrivendo

$ p(0)=a_o$
$p(1)=a_0+a_1+a_2+a_3$
$p(2)=a_0+2a_1+4a_2+8a_3$
$p(3)=a_0+3a_1+9a_2+27a_3 $
e poi valutando nella base $ \mathcal(B) $ mi verrebbe $ \mathcal(( ( 1 , 0 , 0,0 ),( 1,1,0,0),( 1,2,2,0 ),( 1,3,6,6 ) ) ) $

L'applicazione $F$ è definita rispetto alla base $mathcalB$, quindi come polinomio di $RR[X]_(<=3)$ si prende:

$p(x)=a_o +a_1x+a_2x(x-1)+a_3 x(x-1)(x-2), qquad a_i in RR$

quindi

$p(0)=a_o$
$p(1)=a_o +a_1$
$vdots$

Se invece lo facessi direttamente scrivendo

$ p(0)=a_o$
$p(1)=a_0+a_1+a_2+a_3$
$p(2)=a_0+2a_1+4a_2+8a_3$
$p(3)=a_0+3a_1+9a_2+27a_3 $
e poi valutando nella base $ \mathcal(B) $ mi verrebbe $ \mathcal(( ( 1 , 0 , 0,0 ),( 1,1,0,0),( 1,2,2,0 ),( 1,3,6,6 ) ) ) $

L'applicazione $F$ è definita rispetto alla base $mathcalB$, quindi come polinomio di $RR[X]_(<=3)$ si prende:

$p(x)=a_o +a_1x+a_2x(x-1)+a_3 x(x-1)(x-2), qquad a_i in RR$

quindi

$p(0)=a_o$
$p(1)=a_o +a_1$
$vdots$

non ho capito, sono proprio in difficoltà.

Forse ho capito, se scrivo p con i polinomi della base e valuto in p(0),p(1),p(2),p(3)ottengo $ p(0)=a0; p(1)=a0+a1; p(2)=a0+2a1+2a2; p(3)=10+3a1+6a2+6a3 $ e tramite la base canonica ho la matrice che ho scritto sopra, giusto? Se faccio così non mi serve la matrice di cambiamento di base, vero?

Ma le immagini dei vettori rimanenti della base $mathcalB$?

Non ci sto capendo niente...

Non ci sto capendo niente...

Perfetto!

Ricominciamo daccapo.

Sia \(\displaystyle\mathbb{V}=\mathbb{K}[x]_{\leq3}\) lo spazio vettoriale dei polinomi di grado al più \(\displaystyle3\) a coefficienti in un campo \(\displaystyle\mathbb{K}\); consideriamo la sua base standard \(\displaystyle\{1,x,x^2,x^3\}\).

Se tutto ciò non ti è chiaro; esercizio: dimostrare le precedenti affermazioni!

Invece, ti suggerisco di dimostrare che:

1. \(\displaystyle\{1,x,x(x-1),x(x-1)(x-2)\}\) è una base di \(\displaystyle\mathbb{V}\);
2. \(\displaystyle F:p\in\mathbb{V}\to(p(0),p(1),p(2),p(3))\in\mathbb{K}^4\) è un'applicazione lineare di spazi vettoriali (su \(\displaystyle\mathbb{K}\)).

Non ci sto capendo niente...

Perfetto!

Ricominciamo daccapo.

Sia \(\displaystyle\mathbb{V}=\mathbb{K}[x]_{\leq3}\) lo spazio vettoriale dei polinomi di grado al più \(\displaystyle3\) a coefficienti in un campo \(\displaystyle\mathbb{K}\); consideriamo la sua base standard \(\displaystyle\{1,x,x^2,x^3\}\).

Se tutto ciò non ti è chiaro; esercizio: dimostrare le precedenti affermazioni!

Invece, ti suggerisco di dimostrare che:

1. \(\displaystyle\{1,x,x(x-1),x(x-1)(x-2)\}\) è una base di \(\displaystyle\mathbb{V}\);
2. \(\displaystyle F:p\in\mathbb{V}\to(p(0),p(1),p(2),p(3))\in\mathbb{K}^4\) è un'applicazione lineare di spazi vettoriali (su \(\displaystyle\mathbb{K}\)).

Si, questo l'ho fatto, era il primo punto dell'esercizio. Volevo solo sapere se i passaggi che ho fatto precedentemente sono giusti oppure dove sto sbagliando...

Ottimo!

Se ti chiedessi di scrivere la matrice di cambio base: cosa faresti?