Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
05/12/2018, 20:18
Ciao!
Quando abbiamo uno spazio $X$ compatto connesso e una funzione $f:X->RR$ continua, si può concludere che vale il teorema dei valori intermedi no?
Perché $f(X)$ è compatto e connesso quindi chiuso, limitato e connesso.
Le due cose unite ci tornano sostanzialmente che $f(X)$ è un intervallo chiuso e lomitato
05/12/2018, 20:29
Si' certo, gli intervalli sono gli unici connessi di \( \mathbb{R}\) (con la topologia usuale).
05/12/2018, 20:34
$f(X)$ è un compatto di $RR$, e questo è vero se e solo se è unione numerabile di intervalli chiusi e limitati. E' poi connesso, perciò c'è un solo intervallo.
05/12/2018, 20:41
Il fatto che sia compatto è completamente irrilevante per il teorema dei valori intermedi.
05/12/2018, 20:55
@delirium,otta,fmnq
si chiaramente la compattezza è in più, in quanto mi basterebbe che l’immagine sia un intervallo.
Assumendo la compattezza in pratica mi darebbe weierstrass+valori intermedi
Great
05/12/2018, 21:10
Volendo anche per Weierstrass la compattezza non è proprio necessaria
...
05/12/2018, 22:35
fmnq ha scritto:$f(X)$ è un compatto di $RR$, e questo è vero se e solo se è unione numerabile di intervalli chiusi e limitati. E' poi connesso, perciò c'è un solo intervallo.
Falsissimo: l'insieme di Cantor è un sottoinsieme compatto di \(\mathbb{R}\) con la topologia naturale, infinito più che numerabile, e non contiene intervalli:
click!
06/12/2018, 00:29
Sono d'accordo con la critica di Armando.
Opinione mia: questo modo topologico di vedere il teorema dei valori intermedi sembra molto bello quando uno lo studia, ma naturalmente niente è gratis; resta da dimostrare che i soli connessi di \(\mathbb R\) sono gli intervalli e non è proprio banale.
06/12/2018, 09:54
Ma non è ‘difficile’ mostrare che i connessi di $RR$ siano gli intervalli.
Se $I$ non è un intervallo e quindi esistono $a,c in I$ e $b in RR$ tali che $a<b<c$ e $b notinI$ allora gli insiemi $I_1=Icap(-infty,b)$ e $I_2=Icap(b,+infty)$ sono due aperti di $I$ che lo sconnettono
06/12/2018, 11:05
Infatti in realtà serve dimostrare il contrario, cioè che gli intervalli sono connessi.
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