Determinare un sottospazio con parametri

Salve, qualcuno potrebbe perfavore darmi una mano per questo esercizio :

Sia $W(a,b) := \{ (x,y) in RR^2 :\ (a+b)x+by<=0 \}$. Determinare per quali $a,b in RR$ l’insieme $W(a,b)$ è un sottospazio di $RR^2$.

Io ho provato a svolgerlo nel seguente modo :
- ho verificato prima di tutto se il vettore nullo appartiene a $W$ ed è risultato che per $a=0$ e $b=0$ gli appartiene
- ora dovrei verificare se $W(0,0)$ è chiuso rispetto alla somma e al prodotto per uno scalare ma non riesco ad andare avanti

Ultima modifica di gugo82 il 16/01/2019, 20:37, modificato 2 volte in totale.
Motivazione: Inserite le formule con MathML.

Quali vettori sono contenuti in $W(0,0)$?
Risposto a questo, il resto è ovvio...

Però c'è un errore a monte: non è affatto vero che $a=0, b=0$ sono gli unici valori dei parametri tali che $mathbf(0) in W(a,b)$... Ce ne sono molti altri: quali?

Per essere un sottospazio è necessario che il vettore nullo sia contenuto in W(a,b), quindi ponendo x e y uguali a zero risulta che il vettore nullo appartiene a W(a,b) per ogni a,b appartenente ad R. Giusto ?

Per essere un sottospazio è necessario che il vettore nullo sia contenuto in W(a,b), quindi ponendo x e y uguali a zero risulta che il vettore nullo appartiene a W(a,b) per ogni a,b appartenente ad R. Giusto ?

Ma anche no. Ci possono essere e soprattutto ci devono essere anche tutte le combinazioni lineari per cui esista sempre un vettore y (a sua volta combinazione linare di altri vettori e quindi appartenente allo spazio) tale che x+y=0, ovvero y=-x.
Devi appunto mostrare che, essendoci un elemento neutro, per ogni x allora esiste un -x.

Ora se tu disegnassi lo spazio W troveresti $y<=-(a+b)/bx$
Ovvero una cosa di questo tipo:


L'area rossa è il tuo sottospazio e il vettore $blu$ appartiene ad esso.
Ora chiediti se esista una vettore $-blu$ appartenente alla zona rossa e traduci la tua risposta in una dimostrazione.

Proprio non riesco a capirlo potreste farmi vedere lo svolgimento per favore.

Per essere un sottospazio è necessario che il vettore nullo sia contenuto in W(a,b), quindi ponendo x e y uguali a zero risulta che il vettore nullo appartiene a W(a,b) per ogni a,b appartenente ad R. Giusto ?

Sì, giusto.

Quindi il vettore nullo sta in tutti i $W(a,b)$ ed imporre questa condizione non ti è servita a niente.

Per risolvere il problema, comunque, seguirei i suggerimenti di Bokonon: quando puoi rappresentare graficamente una situazione, fallo.

Proprio non riesco a capirlo potreste farmi vedere lo svolgimento per favore.

Elia, il vettore $-blu$ è semplicemente il vettore $blu$ con la direzione rovesciata...quindi cade fuori dalla zona rossa. No?
In particolare qualsiasi vettore v di quello spazio (che non si trovi esattamente sulla retta che passa per l'origine $y=-(a+b)/bx$) non ha un corrispettivo -v.
Secondo me pensi che sia più complicato di quanto non sia.

@Bokonon: E se $b=0$?

@Bokonon: E se $b=0$?

Mi attacco al ....
Mi ero scordato del b

No, dai... È facile!

Ma ancora meglio è il caso $a=0 ^^ b=0$.