Altro esercizio sui sottospazi con parametri

Salve, volevo vedere se alla luce di quello che è stato detto nell'altra discussione sono capace di fare un altro di questi esercizi :

Sia \(\displaystyle W(k)=\{ (x,y,z,t) \in R^4 : x=y+z+t+kyzt \} \). Determinare per quali \(\displaystyle k \in R, \space \space W(k)\) è un sottospazio di \(\displaystyle R^4\).

Ho fatto così :
-ho verificato per quali k il vettore nullo appartenesse al sottospazio ed è risultato che il vettore nullo appartiene a \(\displaystyle W(k) \forall k \in R\)

-allora sono andato a vedere per quali k il sottospazio è chiuso rispetto alla somma. Ho preso due vettori \(\displaystyle (x,y,z,t) \space e \space (a,b,c,d)\) quindi risulta che \(\displaystyle x=y+z+t+kyzt \space \space e \space \space a=b+c+d+kbcd\) sommando i due vettori ho \(\displaystyle (x+a,y+b,z+c,t+d)\) quindi \(\displaystyle x+a=y+b+z+c+t+d+k(y+b)(z+c)(t+d)\) mettendo a sistema queste tre equazioni risulta che \(\displaystyle W(k)\) è chiuso rispetto alla somma se \(\displaystyle k=0\).

-ora vado a verificare per quali k il sottospazio è chiuso rispetto al prodotto per uno scalare. Ora ho che \(\displaystyle \lambda (x,y,z,t)=(\lambda x, \lambda y, \lambda z, \lambda t)\) quindi \(\displaystyle \lambda x= \lambda y+ \lambda z+ \lambda t+k \lambda y \lambda z \lambda t \) quindi mettendo a sistema questa equazione con \(\displaystyle x=y+z+y+kyzt \) risulta che \(\displaystyle k= \lambda ^2 k \).

Quindi ho concluso l'esercizio affermando che \(\displaystyle W(k) \) è un sottospazio di \(\displaystyle R^4 \) se \(\displaystyle k=0 \).

Adesso non so se ho sbagliato tutto oppure finalmente ho capito come fare questi esercizi comunque sia nel caso sia giusto ho un dubbio sull'ultimo punto. Siccome ho verificato che il sottospazio è chiuso rispetto alla somma solo se \(\displaystyle k=0 \) ora posso verificare direttamente se \(\displaystyle W(0) \) è chiuso rispetto al prodotto per uno scalare senza andare a vedere quest'ultima condizione per tutti i k. Giusto ?

Adesso non so se ho sbagliato tutto oppure finalmente ho capito come fare questi esercizi comunque sia nel caso sia giusto ho un dubbio sull'ultimo punto. Siccome ho verificato che il sottospazio è chiuso rispetto alla somma solo se \(\displaystyle k=0 \) ora posso verificare direttamente se \(\displaystyle W(0) \) è chiuso rispetto al prodotto per uno scalare senza andare a vedere quest'ultima condizione per tutti i k. Giusto ?

Si, l'esercizio mi pare svolto correttamente. Inoltre anche la tua ultima osservazione è corretta: verificato che per la somma l'unico valore di \(k\) è \(0\), ti basta solo verificare il prodotto per \(W(0)\).