Esercizi sui tipi di matrice

Scusate riguardo al numero 3, posso ragionare in questo modo ? :

\(\displaystyle I+A+AB=0 \) significa anche che \(\displaystyle det(I)+det(A)+det(AB)=0 \) quindi il \(\displaystyle det(A)\) non può essere uguale a zero poiché risulterebbe, applicando anche il teorema di Binet che \(\displaystyle det(I)=0 \) e ciò è falso poiché il determinante delle matrici unità è sempre uguale a 1. Quindi la matrice A è invertibile, giusto ?

Vi propongo anche un altro esercizio per vedere se l'ho risolto in modo esatto :

Siano \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle B \) due matrici tali che \(\displaystyle AB=0 \) e \(\displaystyle A+B=I \). \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle B \) devono essere idempotenti ?

Allora se \(\displaystyle A+B=I \) significa che \(\displaystyle A=I-B \) dunque andando a sostituire risulta che \(\displaystyle (I-B)B=0 \) ovvero \(\displaystyle B^2 = B \) quindi \(\displaystyle B \) deve essere idempotente, stessa cosa vale per \(\displaystyle A \). Giusto ?

\(\displaystyle I+A+AB=0 \) significa anche che \(\displaystyle det(I)+det(A)+det(AB)=0 \)

Devi rivederti le proprietà del determinante

quindi \(\displaystyle B \) deve essere idempotente, stessa cosa vale per \(\displaystyle A \). Giusto ?

Giusto