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Indice di positività in una forma bilineare

12/02/2019, 18:18

Buonasera a tutti! Ho un piccolo problema con un esercizio che riguarda una forma bilineare. La traccia è:
"Sia $ V_([x]_<= 2) $ lo spazio vettoriale dei polinomi reali di grado al più 2 nell'indeterminata x e si consideri la forma bilineare
$ b(f,g)=60 int_(0)^(1) f(x)g(x)dx $. Detto $ W $ il sottospazio dei polinomi $ fin V $ tali che $ f(0)=0 $, dimostrare che b è definita positiva su W e dedurne che l'indice di positività $ n_+ $ su $ V $ verifica $ n_+>=2 $. "
Allora ho calcolato la matrice associata prendendo $ f=a_1x+a_2x^2 $ e come base $ {x,x^2} $ . La matrice che ne viene fuori è $ ( ( 20 , 15),( 15, 12) ) $ ed è definita positiva, utilizzando il metodo dei minori principali. Quindi la segnatura sarà $ delta (b)=(n_+,0,0) $ e so che $ dimW=n_++n_- $ quindi $ n_+=2 $ . Come faccio a verificare che è maggiore o uguale di 2 suV? Magari è qualcosa di banale, ma non lo vedo.

Re: Indice di positività in una forma bilineare

12/02/2019, 23:10

Perchè non derivi la matrice associata alla forma bilineare su V e la sua segnatura?

Re: Indice di positività in una forma bilineare

13/02/2019, 11:53

Quello è il punto successivo dell'esercizio. Il professore chiedeva di dedurlo prima, quindi credo che se faccio prima l'altro quesito (dove poi è evidente) penso che il professore mi tolga qualche punto.

Re: Indice di positività in una forma bilineare

13/02/2019, 11:59

Quindi avevo pensato,siccome il primo quesito era quello di calcolare la matrice associata su V e il suo determinante, so già che il determinante è >0, quindi il rango è 3 e $ rank(A)=n_++n_- $. Siccome la segnatura su W è data da $ n_+=2 $ e la matrice associata su W non è altro che una sottomatrice di quella su V, posso avere:
1) $ n_+=2 $ e $ n_- =1 $ e rango 3;
2) $ n_+ =3 $ e $ n_- =0 $ e sempre rango 3. Quindi $ n_+ >=2 $ .
Non so se fila il ragionamento...

Re: Indice di positività in una forma bilineare

13/02/2019, 18:22

Milenix ha scritto:Buonasera a tutti! Ho un piccolo problema con un esercizio che riguarda una forma bilineare. La traccia è:
"Sia $ V_([x]_<= 2) $ lo spazio vettoriale dei polinomi reali di grado al più 2 nell'indeterminata x e si consideri la forma bilineare
$ b(f,g)=60 int_(0)^(1) f(x)g(x)dx $.

Qua è meglio ricordare la definizione. Per vedere se una forma bilineare è definita positiva bisogna studiare la forma quadratica \(b(f,f)\), che nel nostro caso è uguale a \(60\int_0^1 (f(x))^2\, dx\), ed è chiaro che questa roba è positiva.

Re: Indice di positività in una forma bilineare

13/02/2019, 18:58

dissonance ha scritto:
Milenix ha scritto:Buonasera a tutti! Ho un piccolo problema con un esercizio che riguarda una forma bilineare. La traccia è:
"Sia $ V_([x]_<= 2) $ lo spazio vettoriale dei polinomi reali di grado al più 2 nell'indeterminata x e si consideri la forma bilineare
$ b(f,g)=60 int_(0)^(1) f(x)g(x)dx $.

Qua è meglio ricordare la definizione. Per vedere se una forma bilineare è definita positiva bisogna studiare la forma quadratica \(b(f,f)\), che nel nostro caso è uguale a \(60\int_0^1 (f(x))^2\, dx\), ed è chiaro che questa roba è positiva.

Lo so che quella roba è positiva. Il quesito sul quale sono dubbiosa forse non si è capito.

"Sia V_([x]_<= 2) lo spazio vettoriale dei polinomi reali di grado al più 2 nell'indeterminata x e si consideri la forma bilineare
b(f,g)= 60 int_(0)^(1) f(x)g(x)dx . Detto W il sottospazio dei polinomi fin V tali che f(0)=0 , dimostrare che b è definita positiva su W e DEDURNE che l'indice di positività n_+ su V verifica n_+>=2 . " Devo dedurlo solo da quello che ho.

Re: Indice di positività in una forma bilineare

13/02/2019, 19:05

Immagine
L'esercizio è questp. Siccome tutte le altre cose servono per il punto C, non potrei proprio sfruttarle. Si capisce ora?

Re: Indice di positività in una forma bilineare

13/02/2019, 23:23

Scusami ma al primo punto ti chiede espressamente di calcolare la matrice rappresentativa su V rispetto alla base canonica.
Quindi l'informazione che il primo minore è positivo ce l'hai e l'accoppi col calcolo al punto b).
Infatti solo alla fine dice "Si poteva dedurre questo fatto senza svolgere alcun calcolo?" ergo puoi fare i calcoli.

Senza fare alcun calcolo in assoluto francamente mi pare esagerato, quindi credo intenda dire che tu possa fare delle considerazioni sul prodotto interno dato.

Re: Indice di positività in una forma bilineare

14/02/2019, 10:07

Ah ecco, probabilmente si intende che i primi due punti vanno risolti scrivendo la matrice associata e poi nell'ultimo bisogna scrivere: "il fatto che \(b\) è definita positiva su tutto \(V\) è in realtà evidente, perché \(b(f,f)=\int_0^1 f^2\, dx\ge 0\) per ogni \(f\in V\) e \(b(f,f)=0\) se e solo se \(f=0\), per le proprietà dell'integrale". Insomma, è un esercizio di algebra che diventa evidente usando un pochino di analisi.
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