Forse non mi sono fatto capire bene, mi sono espresso in modo impulsivo. Volevo provare che la somma di due multipli di $AB$ è ancora un multiplo di $AB$ usando gli assiomi di Hilbert, ovvero usando soltanto la geometria sintetica la quale non fa uso di numeri, ma soltanto confronta fra loro segmenti. L'impressione che spunta inizialmente è questa. Gli assiomi di congruenza ti permettono di costruire i multipli di un segmento, giusto? Siamo abbituati, solitamente nei corsi di matematica , a partire dall'analisi e quindi definire i naturali come il più piccolo insieme induttivo. Successivamente si verifica che il più piccolo insieme induttivo soddisfa il teorema di ricorsione, ovvero sia $P(n)$ un predicato. supponiamo che:
1) $P(1)$
2) $P(n) \rightarrow P(n+1)$
Allora $P(n)$ è vero per ogni $n\in N$.
Adesso l'analogo problema su campo reale è il seguente: Se $a,b\in R$ e $a+b=c$ allora $na + nb = nc$, $\forall n\in N$. Nel caso dei numeri reali ciò si prova banalmente usando le proprietà delle operazioni oppure è possibile anche usare l'induzione su $n$: per $n=1$ è vera per definizione di $c$. In oltre supponendo vero $ na+nb=nc$ ciò implica $(n+1)a+(n+1)b = na + nb + a + b = (n+1)c$. dunque $na+nb=nc$ è vera per ogni naturale.
In geometria dobbiamo invece usare gli assiomi di hilbert. Perciò il risultato non può essere dimostrato usando le proprietà delle operazioni. L'unica operazione che si definisce è soltanto la somma di segmenti. Possiamo definire il multiplo di un segmento tramite ricorsione, ovvero:
Definizione:1) $OQ\equiv AB$ è un multiplo di $AB$
2) Dati $O,P,Q$, se $OP$ è un multiplo di $AB$ e $PQ\equiv AB$ allora $OQ$ è anch'esso multiplo di $AB$
La prima cosa che salta in mente è dimostrare il teorema dei multipli tramite ricorsione. Ma prima ancora va dimostrato il teorema di ricorsione. Come posso fare ciò con gli assiomi di hilber? In oltre si noti che nel teorema di ricorsione viene fatta menzione di un predicato $P(n)$. Gli assiomi di hilbert non lavorano coi predicati e nemmeno con i numeri naturali, ma solo con segmenti. In altre parole predicati e numeri naturali sono estranei al linguaggio degli assiomi di hilbert. Per questo all'inizio avevo chiesto se fosse stato un problema di espressività degli assiomi di hilbert. C'è qualcosa che non va bene nel mio ragionamento? Come posso provare che che la somma di due multipli è un multiplo?
VICT 85 non ho capito come il tuo ragionamento possa provare l'asserto partendo dalla definizione data di multiplo.