Certo. Ma questa roba non è altro che la "normale" indipendenza lineare di vettori di \(\mathbb Q^n\), se \(G\subset \mathbb Z^n\), come nel tuo caso. Infatti, per definizione la mappa \(\phi\) è ingettiva se e solo se
\[
n_1a_1+\ldots+n_ka_k=m_1a_1+\ldots+m_k a_k\ \Rightarrow\ n_1=m_1, \ldots , n_k=m_k.\]
Ovvero, se e solo se
\[\tag{*}
n_1a_1+\ldots+n_ka_k=0,\ \Rightarrow\ n_1=n_2=\ldots=n_k=0.\]
L'unica differenza con la definizione di \(\mathbb Q\)-indipendenza lineare è che qui gli scalari sono interi. Ma in realtà (*) è equivalente alla \(\mathbb Q\)-indipendenza lineare. Infatti, se \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) sono \(\mathbb Q\)-linearmente indipendenti, allora chiaramente sono anche \(\mathbb Z\)-linearmente indipendenti. Viceversa, se (*) è verificata e
\[
\frac{p_1}{q_1}a_1 +\ldots+ \frac{p_k}{q_k} a_k=0, \]
allora moltiplicando per \(\prod_1^k q_i\) si ottiene
\[
(p_1q_2\ldots q_k) a_1 + (p_k q_1\ldots q_{k-1})a_k=0, \]
che è una combinazione lineare nulla a coefficienti interi, e che quindi implica l'annullamento di tutti i coefficienti. Siccome \(q_1\ne 0 , q_2\ne 0, \ldots ,q_k \ne 0\), ne consegue che \(p_1=p_2=\ldots =p_k=0\) e quindi che \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) sono \(\mathbb Q\)-linearmente indipendenti.
CONCLUSIONE: Per questo esercizio, pensa a vettori di \(\mathbb Z^n\), non a gruppi astratti.
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dissonance il 22/05/2019, 22:45, modificato 2 volte in totale.