Allora cerchiamo di chiarire le idee.
una forma bilineare $b:VtimesV->k$ ha semplicemente le proprietà di linearità su ogni componente.
Se lo spazio $V$ ha dimensione finita, posta $B={v_1,...,v_n}$ una sua base, esiste una matrice $A in k^(ntimesn)$ per cui
$phi(v,w)=C_B^(-1)(v)^tAC_B^(-1)(w)$
dove $C_B:k^n->V$ definito come $C_B(x_1,...,x_n)=sum_(k=1)^(n)x_kv_k$ è l'isomorfismo delle coordinate rispetto alla base $B$ fissata. E' chiaro che $C_B^(-1)$ diventa una notazione pesante quindi si può usare semplicemente la notazione $v_B$ che indica il vettore delle componenti di $v$ rispetto alla base $B$
$phi(v,w)=v_B^tAw_B$
poniamo sotto esame la forma bilineare da te proposta che rispetto alla base $B={(1,0),(1,1)}$ si identifica come
$phi(v,w)=v_B^t[(1,1),(1,2)]w_B$
invece la scrittura \( \phi((x_1,x_2),(y_1,y_2))=x_1y_1+x_2y_2 \) è svincolata da basi e non è "rispetto alla base canonica di $RR^2$"
ora se facciamo brutalmente il prodotto
$[x_1,x_2][(1,1),(1,2)][(y_1),(y_2)]=[x_1+x_2,x_1+2x_2]*[(y_1),(y_2)]=x_1y_1+x_2y_1+x_1y_2+2x_2y_2$
sembra che ci sia una qualche differenza tra le due scritture ma così non è poiché questi termini rappresentano le coordinate e non il vettore stesso.
di fatto se calcoliamo ponendo $[1,1][(1,1),(1,2)][(1),(-1)]$ otteniamo
$1*1+1*1+1*(-1)+2*1*(-1)=-1$
i vettori associati sono
$(1,1)|->1*(1,0)+1*(1,1)=(2,1)$
$(1,-1)|->1*(1,0)-1*(1,1)=(0,-1)$
di fatto \( \phi((2,1),(0,1))=\) $2*0+1*(-1)=-1$
Basta notare che quando passi da \( \phi((x_1,x_2),(y_1,y_2)) \) a $(x_1,x_2)_B[(1,1),(1,2)]((y_1),(y_2))_B$ devi cambiare il vettore nelle sue componenti, stessa cosa quando fai al contrario; quando calcoli quel prodotto con le componenti, ti puoi ricavare i vettori.