Come si dimostra che le mosse di Gauss non alterano il determinante?

Ciao ragazzi, volevo chiedervi come si dimostra che le mosse di Gauss non alterano il determinante di una matrice (o al più il suo segno)?
Inoltre mi piacerebbe anche sapere perchè le suddette mosse non alterano l'insieme delle soluzioni di un sistema di equazioni lineari sottoforma di matrice, grazie.

Non ho capito specialmente come posso addizionare a una riga una combinazione lineare di altre righe senza alteranre il determinante.

È immediato se giochi con la matrice identità e il fatto che il determinante muti prodotti di matrici in prodotti di reali.

Per l'altra richiesta, hanno postato una domanda identica qui.

Segue dal teorema di Binet (quello che dice che $det(AB)=det(A)det(B)$).

Le mosse di Gauss sulle righe corrispondono a moltiplicazioni a sinistra per matrici con determinante 1.

Le mosse di Gauss sulle colonne corrispondono a moltiplicazioni a destra per matrici con determinante 1.

Uno scambio di righe o di colonne corrisponde a una matrice con determinante $-1$ (moltiplicata a sinistra o a destra rispettivamente) quindi cambia segno al determinante.