Ciao!
Provo a darti un indizio: usa una analogia tra le proprietà del prodotto scalare e la seguente equazione numerica
$(x^2-y^2)=(x+y)(x-y)$
il secondo esercizio mi piace; vediamo se riesco ad aiutarti
per ipotesi $F^2(v)=2F(v)$ e inoltre sai che $F$ è un endomorfismo simmetrico e quindi diagonalizzabile pertanto sai che esistono almeno un vettore $une0$ e un autovalore $lambda$ per cui $F(u)=lambdau$
quindi
$F^2(u)=2F(u)=>F(F(u))=2lambdau => F(lambdau)=2lambdau=> lambda^2u=2lambdau$
da cui ottieni $(lambda^2-2lambda)u=0$ ma essendo $une0$ deve essere $lambda^2-2lambda=0$
quindi tutti e soli gli autovalori di $F$ sono quelli ottenuti da questa equazione
Lo sono perché date le ipotesi gli autovalori devono soddisfare questa equazione inoltre essendo diagonalizzabile gli autovalori sono esattamente questi.
essendo $lambda_1=0$ e $lambda_2=2$ avrai due autospazi; uno di dimensione $1$ e un altro di dimensione $2$ e nota che questo segue dal fatto che l'endomorfismo è diagonalizzabile quindi la somma delle dimensioni degli autospazi deve essere esattamente $3$
l'autospazio $V_0$ con autovalore $lambda_1=0$ coincide con il nucleo che per ipotesi è generato da $b_1-b_2$
per concludere bisogna ricordarsi che per un endomorfismo simmetrico due autovettori relativi a due autovalori differenti sono necessariamente ortogonali, preso quindi l'autospazio $V_2$ esso deve contenere solo autovettori ortogonali a $V_0=Ker(F)=S=<<b_1-b_2>>$ da cui $V_2=V_0^(_|_)$ ossia lo spazio che troverai nel primo esercizio.