Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
23/06/2019, 17:44
Consideriamo lo spazio topologico $RR/NN$ con la topologia quoziente.
Voglio dire che non è primo numerabile
(ovvero che esiste un punto che non ammette un sistema fondamentale di intorni numerabile).
Prova
Considero $\bar{0} \in RR/NN$ e dico che questo non ammette un sistema fondamentale di intorni.
Prendiamo ${U_n}_(n \in NN)$ famiglia di aperti di $RR/NN$ e vediamo che non può essere un sistema fondamentale di intorni per $\bar{0}$.
Ricordando la continuità della mappa di proiezione $\pi:RR->RR/NN$ si ottiene una famiglia di aperti di $RR$ data da ${V_n}_(n \in NN)$ con $V_i=\pi^(-1)(U_i)$.
Inoltre si ha $NN \subset V_i \ \ AA i \in NN$.
Adesso costruisco i seguenti aperti:
$W_i=(i-1/2, i+1/2)-{p_i}$ con $p_i \in (i-1/2,i+1/2) \nn V_i -{i}$
(cioè alla palla tolgo un punto a caso vicino al naturale i)
Ottengo che
$A=\bigcup_(n in NN) W_n$ è un aperto (unione di aperti) saturo (contiene $NN$) che non contiene nessun $V_i$ (ognuno di essi ha almeno un punto di troppo).
Quindi $\pi(A) \subset RR/NN$ è un aperto che non contiene nessun $U_i$.
Dite che può andar bene?
E' compensibile?
Avreste consigli di stile/ precisazioni da fare?
23/06/2019, 17:49
Che relazione usi nel quoziente \(\mathbb{R}/\mathbb{N}\)? Perché generalmente \(\mathbb{R}/\mathbb{Z}\cong \mathbb{S}^1\) che è primo numerabile.
23/06/2019, 18:05
In generale $X$ spazio topologico $Y\subsetX$ sottospazio
Indico con $X/Y$ lo spazio \(X/\sim\) con $a$ \(\sim\) $b$ sse $a,b \in Y$
In pratica sto identificando tutti i naturali in un punto, che nella dimostrazione ho indicato con \(\bar{0}\)
23/06/2019, 18:43
vict85 ha scritto:Che relazione usi nel quoziente \(\mathbb{R}/\mathbb{N}\)? Perché generalmente \(\mathbb{R}/\mathbb{Z}\cong \mathbb{S}^1\) che è primo numerabile.
Questo è un quoziente in \(\bf Grp\), quello di OP un quoziente in \(\bf Top\): i due sono diversi; il motivo è che le mappe continue \(\mathbb R\to X\) che sono mappe costanti ristrette a \(\mathbb Z\) sono molte più degli omomorfismi di gruppo che hanno \(\mathbb Z\) nel nucleo. Questo implica che l'oggetto \(\mathbb R /\mathbb Z\) sia molto più grande in \(\bf Top\) che in \(\bf Grp\).
Incidentalmente, \((\mathbb R / \mathbb Z)_{\bf Top} \cong \bigvee_{n\ge 1}\mathbb S^1\); l'idea per dimostrarlo dovrebbe essere che ogni mappa continua \(g : \mathbb R \to X\) che è costante su \(\mathbb Z\) induce una \( \bar g : \bigvee_{n\ge 1}\mathbb S^1 \to X\) definita mandando la coppia \((n, x\mod 1)\) in \(g(n+x)\), che è ben definita data la proprietà di $g$.
23/06/2019, 19:00
caulacau ha scritto:Incidentalmente, \((\mathbb R / \mathbb Z)_{\bf Top} \cong \bigvee_{n\ge 1}\mathbb S^1\); l'idea per dimostrarlo dovrebbe essere che ogni mappa continua \(g : \mathbb R \to X\) che è costante su \(\mathbb Z\) induce una \( \bar g : \bigvee_{n\ge 1}\mathbb S^1 \to X\) definita mandando la coppia \((n, x\mod 1)\) in \(g(n+x)\), che è ben definita data la proprietà di $g$.
Non ho chiaro il significato della scrittura \(\bigvee_{n\ge 1}\mathbb S^1\)
Comunque credo di aver capito (a livello intuitivo) cosa vuoi dire, cioè (correggimi se sbaglio) che \((\mathbb R / \mathbb Z)_{\bf Top}\) è una specie di "fiore con infiniti petali" (passami l'analogia
)
Comunque potresti dirmi se secondo te la dimostrazione che ho fatto di questo
jinsang ha scritto:Consideriamo lo spazio topologico $ RR/NN $ con la topologia quoziente.
Voglio dire che non è primo numerabile
(ovvero che esiste un punto che non ammette un sistema fondamentale di intorni numerabile).
è corretta?
23/06/2019, 19:15
Ah, sì, \(\bigvee_{n\ge 1} \mathbb S^1\) è la somma wedge di infiniti \(\mathbb S^1\); praticamente prendi una quantità numerabile di circonferenze che passano per $(0,0)$; oppure prendi quella stessa quantità numerabile di circonferenze, e le attacchi tutte per un punto. Formalmente, fai questo:
dove le mappe sono tutte l'inclusione del punto base $x_0$ in $\mathbb S^1$, e ne fai il colimite.
23/06/2019, 19:57
caulacau ha scritto:vict85 ha scritto:Che relazione usi nel quoziente \(\mathbb{R}/\mathbb{N}\)? Perché generalmente \(\mathbb{R}/\mathbb{Z}\cong \mathbb{S}^1\) che è primo numerabile.
Questo è un quoziente in \(\bf Grp\), quello di OP un quoziente in \(\bf Top\): i due sono diversi; il motivo è che le mappe continue \(\mathbb R\to X\) che sono mappe costanti ristrette a \(\mathbb Z\) sono molte più degli omomorfismi di gruppo che hanno \(\mathbb Z\) nel nucleo. Questo implica che l'oggetto \(\mathbb R /\mathbb Z\) sia molto più grande in \(\bf Top\) che in \(\bf Grp\).
Incidentalmente, \((\mathbb R / \mathbb Z)_{\bf Top} \cong \bigvee_{n\ge 1}\mathbb S^1\); l'idea per dimostrarlo dovrebbe essere che ogni mappa continua \(g : \mathbb R \to X\) che è costante su \(\mathbb Z\) induce una \( \bar g : \bigvee_{n\ge 1}\mathbb S^1 \to X\) definita mandando la coppia \((n, x\mod 1)\) in \(g(n+x)\), che è ben definita data la proprietà di $g$.
Certo, il caldo fa brutti scherzi. Comunque se quozienta solo sue \(\mathbb{N}\) ci dovrebbe essere una semiretta aggiuntiva, proprio un fiorellino
.
23/06/2019, 20:36
caulacau ha scritto:Ah, sì, \(\bigvee_{n\ge 1} \mathbb S^1\) è la somma wedge di infiniti \(\mathbb S^1\); praticamente prendi una quantità numerabile di circonferenze che passano per $(0,0)$; oppure prendi quella stessa quantità numerabile di circonferenze, e le attacchi tutte per un punto. Formalmente, fai questo:
dove le mappe sono tutte l'inclusione del punto base $x_0$ in $\mathbb S^1$, e ne fai il colimite.
Purtroppo non sono granché formato in teoria delle categorie (in effetti non sono nemmeno sicuro che tu ne stia facendo uso, ma ho questa sensazione
), comunque grazie per questi spunti interessanti (davvero, mi piacerebbe approfondire in futuro).
vict85 ha scritto:Certo, il caldo fa brutti scherzi. Comunque se quozienta solo sue \( \mathbb{N} \) ci dovrebbe essere una semiretta aggiuntiva, proprio un fiorellino
.
Sì esatto, l'immagine che avevo in testa era proprio questa
.
Quindi in effetti ha senso (secondo me) pensare che il punto di giunzione tra "gambo" e "petali" (cioè \(\bar{0}\)) non ammetta un sistema fondamentale di intorni numerabile.
Le domande sono:
Questo fatto è vero?
La mia dimostrazione è corretta?
Ci sono dimostrazioni più veloci/eleganti?
23/06/2019, 20:55
La proiezione al quoziente è una mappa aperta? Se sì, hai finito
24/06/2019, 00:57
caulacau ha scritto:La proiezione al quoziente è una mappa aperta? Se sì, hai finito
In questo caso direi di sì, in generale credo di no.
Comunque il fatto che $A$ è un aperto saturo mi garantisce che \(\pi(A)\) è aperto (anche quando la proiezione non è aperta), giusto?
Cioè in un quoziente topologico \(X/\sim\) gli aperti sono gli insiemi \(Y\) tali che \(\pi^{-1}(Y)\) è aperto in \(X\).
Ma se \(A\subset X \) aperto saturo allora \(\pi^{-1}(\pi(A))=A\), quindi \(\pi(A)\) è aperto.
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