Passa al tema normale
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia

Regole del forum

Consulta il nostro regolamento e la guida per scrivere le formule
Rispondi al messaggio

Re: Spazio topologico NON primo numerabile

24/06/2019, 07:01

Sono confuso: sia sono convinto che la tua dimostrazione sia corretta, sia credo che quello che vuoi provare sia falso :-D


Mi era venuta l'idea forse ingenua di prendere $D_k=\bigcup_{n\inN} (n-1/k, n+1/k)$ e prendere come sistema fondamentale ${D_n: n\in \mathbb{N}}$. Per insiemi normali sembra funzionare, ma sicuramente mi sbaglio, ditemi dove se lo vedete.

Re: Spazio topologico NON primo numerabile

24/06/2019, 10:25

arnett ha scritto:Sono confuso: sia sono convinto che la tua dimostrazione sia corretta, sia credo che quello che vuoi provare sia falso :-D


Mi era venuta l'idea forse ingenua di prendere $D_k=\bigcup_{n\inN} (n-1/k, n+1/k)$ e prendere come sistema fondamentale ${D_n: n\in \mathbb{N}}$. Per insiemi normali sembra funzionare, ma sicuramente mi sbaglio, ditemi dove se lo vedete.


Ok, a partire da questa famiglia di aperti costruisco un aperto che mostra che non è un sistema fondamentale di intorni.
Da come hai scritto direi che facciamo partire i naturali da 1.

$W_1=(1-1/2,1+1/2)-{1+1/3}$
$W_2=(2-1/2,2+1/2)-{2+1/3}$
$W_3=(3-1/3,3+1/3)-{3+1/4}$
...
$W_n=(n-1/n,n+1/n)-{1/(n+1)} \ \ $ per $n>=2$

\(A=\bigcup_{n \in \mathbb{N}^+} W_n\)

Questo aperto non contiene nessun $D_n$.
L'ho costruito copiando (più o meno) la costruzione generale che ho fatto nella dimostrazione, solo che qui ho detto esplicitamente chi sono i punti che tolgo.

Dimmi se ti convince :)

Re: Spazio topologico NON primo numerabile

24/06/2019, 22:24

Sì, credo che tu mi abbia convinto. Qua:
$W_n=(n-1/n,n+1/n)-{1/(n+1)} \ \ $ per $n>=2$


palesemente volevi dire $-{n+1/(n+1)}$ direi.

E se in effetti questo è uno spazio che non è primo numerabile, deve seguire necessariamente che la proiezione al quoziente non è aperta.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Quanto a questo
Da come hai scritto direi che facciamo partire i naturali da 1.

Beh non c'è neanche da chiederlo :-D

Re: Spazio topologico NON primo numerabile

24/06/2019, 22:43

arnett ha scritto:Qua:
$Wn=(n−1/n,n+1/n)−{1/(n+1)}$  per $n≥2$


palesemente volevi dire $−{n+1/(n+1)}$ direi.

Sisi certo.

arnett ha scritto:deve seguire necessariamente che la proiezione al quoziente non è aperta.

Perché?

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
arnett ha scritto:Quanto a questo
Da come hai scritto direi che facciamo partire i naturali da 1.

Beh non c'è neanche da chiederlo

:lol:

Re: Spazio topologico NON primo numerabile

25/06/2019, 10:40

Perché se la mappa quoziente $q$ fosse stata aperta avresti potuto scegliere, per ogni $p\in \RR/\NN$ un punto $\tilde p \in \RR$ nella controimmagine $q^{-1}({p})$, poi prendere un suo sistema fondamentale di intorni numerabile $\mathcal{U}(\tilde p)$ e usare come sistema fondamentale di intorni numerabile di $p$ semplicemente la collezione dei $q(U), U\in\mathcal{U}(\tilde p)$.

Comunque che questa proiezione non sia aperta si vede anche con le mani: $(7/8, 9/8)$ è un aperto di $\RR$ ma la sua immagine nel quoziente non è aperta.

Re: Spazio topologico NON primo numerabile

25/06/2019, 13:14

Ho riletto la dimostrazione e mi sembra vada abbastanza bene. Anche se invece di togliere il punto \(p_i\) avresti semplicemente potuto prendere una palla aperta sufficientemente piccola.

Re: Spazio topologico NON primo numerabile

25/06/2019, 21:59

vict85 ha scritto:Anche se invece di togliere il punto $p_i$ avresti semplicemente potuto prendere una palla aperta sufficientemente piccola.

Hai ragione, mi sembrava non funzionasse... ma pensandoci meglio mi sembra fattibile e in effetti più semplice.


arnett ha scritto:Comunque che questa proiezione non sia aperta si vede anche con le mani: $ (7/8, 9/8) $ è un aperto di $ \RR $ ma la sua immagine nel quoziente non è aperta.

Scusami, magari mi sbaglio, ma non mi torna: la sua immagine è aperta in $RR/NN$.
Gli aperti di $RR/NN$ sono gli $U$ tali che $\pi^(-1)(U)$ è aperto in $RR$ (sto indicando con $\pi$ la proiezione).
Se prendo $ \pi(7/8, 9/8) $ e ne faccio la controimmagine ottengo $\bigcup_(n \in NN) (n-1/8,n+1/8)$ che è unione di aperti quindi aperto.

Mi verrebbe da dire che questa proiezione è aperta, lo verifico su una base per la topologia euclidea su $RR$.
Dato $(a,b) \subset RR$ ho due possibilità:
1. $(a,b) \nn NN = \emptyset$ allora $\pi^(-1)(\pi(a,b))=(a,b)$ aperto, quindi $\pi(a,b)$ aperto in $RR/NN$
2. $(a,b) \nn NN != \emptyset$ allora diciamo $n_0 \in (a,b) \nn NN$ e $(a,b)=(n_0-\delta, n_0+\epsilon)$ ottengo
$\pi^(-1)(\pi(a,b))=\bigcup_(n \in NN) (n-\delta, n+\epsilon)$ aperto, quindi $\pi(a,b)$ aperto in $RR/NN$

Ora però devo pensare (sempre che non abbia detto una cavolata), perché non si può fare il discorso che hai fatto tu per dire che nel caso di proiezione aperta il quoziente sarebbe primo numerabile, prendendo come famiglia di aperti nel quoziente $RR/NN$ l'immagine un sistema fondamentale di intorni numerabile in $RR$.

Re: Spazio topologico NON primo numerabile

25/06/2019, 22:21

jinsang ha scritto:Se prendo $ \pi(7/8, 9/8) $ e ne faccio la controimmagine ottengo $\bigcup_(n \in NN) (n-1/8,n+1/8)$ che è unione di aperti quindi aperto.


No: se fai la controimmagine trovi $(7/8, 9/8)\cup\NN$. Infatti $q(7/8, 9/8)$ è fatto da un trattino su un solo petalo: comprende il punto a cui è stato collassato $\NN$, ma poi comprende punti solo di un petalo. Stesso discorso per quando dimostri con la base euclidea che la mappa è aperta.

Re: Spazio topologico NON primo numerabile

25/06/2019, 22:32

Perfetto hai ragione ho sbagliato :lol:
Meglio così ahah
Grazie a tutti per le risposte e i chiarimenti!

26/06/2019, 09:38

Ricapitolando: sei riuscito a dimostrare che questo "fiore topologico" sia NON primo numerabile?

Mi sono perso...

P.S.: se fai un'operazione analoga (il così detto collasso) con \(\displaystyle\mathbb{Z}\), ottieni la margherita topologica. ;)
Rispondi al messaggio