24/06/2019, 10:25
arnett ha scritto:Sono confuso: sia sono convinto che la tua dimostrazione sia corretta, sia credo che quello che vuoi provare sia falso
Mi era venuta l'idea forse ingenua di prendere $D_k=\bigcup_{n\inN} (n-1/k, n+1/k)$ e prendere come sistema fondamentale ${D_n: n\in \mathbb{N}}$. Per insiemi normali sembra funzionare, ma sicuramente mi sbaglio, ditemi dove se lo vedete.
24/06/2019, 22:43
arnett ha scritto:Qua:
$Wn=(n−1/n,n+1/n)−{1/(n+1)}$ per $n≥2$
palesemente volevi dire $−{n+1/(n+1)}$ direi.
arnett ha scritto:deve seguire necessariamente che la proiezione al quoziente non è aperta.
arnett ha scritto:Quanto a questo
Da come hai scritto direi che facciamo partire i naturali da 1.
Beh non c'è neanche da chiederlo
25/06/2019, 13:14
25/06/2019, 21:59
vict85 ha scritto:Anche se invece di togliere il punto $p_i$ avresti semplicemente potuto prendere una palla aperta sufficientemente piccola.
arnett ha scritto:Comunque che questa proiezione non sia aperta si vede anche con le mani: $ (7/8, 9/8) $ è un aperto di $ \RR $ ma la sua immagine nel quoziente non è aperta.
25/06/2019, 22:32
26/06/2019, 09:38
26/06/2019, 21:53
jinsang ha scritto:Prova
Considero $\bar{0} \in RR/NN$ e dico che questo non ammette un sistema fondamentale di intorni numerabile.
Prendiamo ${U_n}_(n \in NN)$ famiglia di aperti di $RR/NN$ che contengono $\bar{0}$ e vediamo che non può essere un sistema fondamentale di intorni per $\bar{0}$.
Ricordando la continuità della mappa di proiezione $\pi:RR->RR/NN$ si ottiene una famiglia di aperti di $RR$ data da ${V_n}_(n \in NN)$ con $V_i=\pi^(-1)(U_i)$.
Inoltre si ha $NN \subset V_i \ \ AA i \in NN$.
Adesso costruisco i seguenti aperti:
$W_i=(i-1/2, i+1/2)-{p_i}$ con $p_i \in (i-1/2,i+1/2) \nn V_i -{i}$
(cioè alla palla tolgo un punto a caso vicino al naturale i)
Ottengo che
$A=\bigcup_(n in NN) W_n$ è un aperto (unione di aperti) saturo (contiene $NN$) che non contiene nessun $V_i$ (ognuno di essi ha almeno un punto di troppo).
Quindi $\pi(A) \subset RR/NN$ è un aperto che non contiene nessun $U_i$.
Nell'ultimo passaggio $\pi(A) \subset RR/NN$ è aperto perché $A$ è saturo.
arnett ha scritto:No: se fai la controimmagine trovi $ (7/8, 9/8)\cup\NN $. Infatti $ q(7/8, 9/8) $ è fatto da un trattino su un solo petalo: comprende il punto a cui è stato collassato $ \NN $, ma poi comprende punti solo di un petalo. Stesso discorso per quando dimostri con la base euclidea che la mappa è aperta.
arnett ha scritto:Perché se la mappa quoziente $ q $ fosse stata aperta avresti potuto scegliere, per ogni $ p\in \RR/\NN $ un punto $ \tilde p \in \RR $ nella controimmagine $ q^{-1}({p}) $, poi prendere un suo sistema fondamentale di intorni numerabile $ \mathcal{U}(\tilde p) $ e usare come sistema fondamentale di intorni numerabile di $ p $ semplicemente la collezione dei $ q(U), U\in\mathcal{U}(\tilde p) $.
j18eos ha scritto:P.S.: se fai un'operazione analoga (il così detto collasso) con \( \displaystyle\mathbb{Z} \), ottieni la margherita topologica.
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