28/06/2019, 10:45
28/06/2019, 15:21
carbo ha scritto:In particolare per quanto riguarda gli esercizi 2,3 la mia difficoltà non è nel trovare immagine e nucleo ma nello "scrivere" l'applicazione di partenza.
carbo ha scritto:Invece nell'ex 1 non so proprio dove mettere le mani una volta trovata l'applicazione che a me risulta essere: $f(A)=((2a,b+c),(c+b,2d))$
Ex.1
Nello spazio vettoriale $M (2, R)$ delle matrici quadrate reali di 2° ordine si consideri l’applicazione definita da $f(A) = A + A^t$
a) Calcolare il polinomio caratteristico e trovare gli autovalori.
b) Provare che f è semplice.
c) Trovare una base rispetto a cui la matrice di f si rappresenta con una matrice diagonale.
30/06/2019, 15:38
gugo82 ha scritto:carbo ha scritto:In particolare per quanto riguarda gli esercizi 2,3 la mia difficoltà non è nel trovare immagine e nucleo ma nello "scrivere" l'applicazione di partenza.
Insomma, non sai scrivere un prodotto vettoriale o un prodotto scalare in coordinate?carbo ha scritto:Invece nell'ex 1 non so proprio dove mettere le mani una volta trovata l'applicazione che a me risulta essere: $f(A)=((2a,b+c),(c+b,2d))$
Ex.1
Nello spazio vettoriale $M (2, R)$ delle matrici quadrate reali di 2° ordine si consideri l’applicazione definita da $f(A) = A + A^t$
a) Calcolare il polinomio caratteristico e trovare gli autovalori.
b) Provare che f è semplice.
c) Trovare una base rispetto a cui la matrice di f si rappresenta con una matrice diagonale.
Come si calcola il polinomio caratteristico?
Bisogna prima rappresentare la $f$ con una matrice.
Come si fa a rappresentare la $f$ con una matrice?
Bisogna fissare una base in dominio e codominio.
Qual è una base di $mathbb(M)(2,RR)$?
04/07/2019, 03:46
07/07/2019, 16:10
gugo82 ha scritto:Hai $ f(((a,b),(c,d))) = ((2a , b+c), (b+c, 2d)) $ e, visto che una base di $ mathbb(M)(2,RR) $ è costituita da $ e_1=((1,0),(0,0)), e_2= ((0,1),(0,0)), e_3=((0,0),(1,0)), e_4= ((0,0),(0,1)) $, la matrice $ F $ che rappresenta $ f $ in coordinate è una matrice $ 4xx4 $.
Ora, dato che $ f(e_1) = ((2,0),(0,0)) = 2e_1 $, $ f(e_2)=((0, 1),(1,0)) = e_2 + e_3 $, $ f(e_3) = f(e_2)=e_2+e_3 $ ed $ f(e_4) = ((0,0),(0,2)) =2e_4 $, hai $ F=((2, 0, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 1,1,0), (0, 0, 0, 2)) $.
Gli autovalori di $ f $ si ottengono calcolando quelli di $ F $, ossia risolvendo $ det(F-lambda I) =0 $.
15/07/2019, 09:49
carbo ha scritto:ex2
Sia $w in RR^3$ e sia $f : RR^3 -> RR^3$ definita da $f(v) = v ^^ w$ per ogni $v in RR^3$.
a) Dimostrare che $f$ è lineare.
b) Se $w = (1, 2, −1)$, trovare la dimensione e una base di $text(Ker)(f) $ e di $text(Im)(f)$ .
c) Trovare il polinomio caratteristico dell’endomorfismo $f$.
d) Verificare che l’endomorfismo $f$ è semplice.
19/07/2019, 01:46
carbo ha scritto:ex3
Sia $f : RR^3 -> RR^3$ la applicazione definita da $f(v) = (v*u)u$ per ogni $v in RR^3$ dove $u$ è un vettore di norma uno di $RR^3$.
a) Verificare che $f$ è lineare.
b) Caratterizzare geometricamente il nucleo e l’immagine di $f$.
c) Trovare il polinomio caratteristico dell’endomorfismo $f$.
d) Verificare che l’endomorfismo $f$ è semplice.
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