esercizio di trasformazioni lineari di riflessione e proiezione ortogonale attorno ad un piano

Salve avrei un esercizio da proporvi:

Avendo il piano $S: x_2 - x_3=0$ trovare una riflessione $\alpha$ attorno ad $S$ e la proiezione ortogonale $\beta$ di $S$; successivamente scrivere le matrici che rappresentino $\alpha$, $\beta$ e $\alpha \beta$ associate ai versori; e infine descrivere $\alpha\beta^(-1) (S)$

Se qualcuno mi potesse aiutare sia nella parte teorica che in quella pratica ne sarei veramente grata.

Ti propongo una strada intuitiva. Non so se lavori nel piano affine o proiettivo : da poco ragiono sul secondo, quindi userò il primo! (non dovrebbe cambiare molto)

Userò i seguenti fatti
i) La direzione normale $n_{\pi}$ ad un piano $\pi : ax+by+cz+d=0$, con $(a,b,c)\ne(0,0,0)$ è data proprio dal vettore $(a,b,c)$ (o un suo qualunque multiplo). Nel nostro caso $n_{S}=(0,1,-1)$
ii) La distanza di un punto $P=(x,y,z)$ dal piano $\pi : ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}+d=0$ è
\[
d(P,\pi)=\frac{|ax+by+cz+d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}
\]
iii) il piano divide lo spazio in due regioni dette semispazi, retti dalle disequazioni $ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}+d\ge0$ o $ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}+d\le 0$

Partiamo. Sia un punto $P=(x,y,z)$ : il punto immagine $Q=\alpha(x,y,z)$ deve essere disposto in modo tale che la retta $r$ che li unisce
1) sia normale al piano $S$;
2) incontri $S$ nel punto medio del segmento $PQ$

Ti basterebbe, dunque, imporre queste due condizioni ma tu $Q$ non lo conosci. Ciò però non è un problema : la retta $r$ passa per $P$ ed è normale al piano, pertanto puoi conoscere la sua equazione, che è
\[
r :\begin{cases}
x_{1}=x\\
x_{2}=y+s\\
x_{3}=z-s
\end{cases} \qquad s\in \mathbb{R}
\]
Per ora sappiamo che $Q$ è su $r$ ed è quindi del tipo $(x,y+s,z-s)$. Ci basta trovare $s$
Imponiamo la condizione 2) : la distanza di $P$ da $S$ è $d=\frac{|y-z|}{\sqrt{2}}$, quindi $PQ=2d=\sqrt{2}|y-z|$ e
\[
PQ=\sqrt{(x-x)^{2}+(y+s-y)^{2}+(z-s-z)^{2}}=|s|\sqrt{2}
\]
Ne deduciamo che $|s|=|y-z|$, cioè $s=\pm(y-z)$. Ora la doppia soluzione non ci appare insensata ma quale dobbiamo scegliere? Quello che si può notare è che $P$ e $Q$ si trovano in due semispazi diversi, quindi
1) se $P\in \{(x_{1},y_{2},z_{2}) : x_{2}\ge x_{3}\}$, cioè se $y\ge z$ deve risultare $Q\in \{(x_{1},y_{2},z_{2}) : x_{2}\le x_{3}\}$, cioè $(y+s) \le (z-s) \Rightarrow (y-z) \le -2s$ : quindi $s$ deve essere negativo, cioè $s=z-y$
2) se $P\in \{(x_{1},y_{2},z_{2}) : x_{2}\le x_{3}\}$, cioè se $z\ge y$ deve risultare $Q\in \{(x_{1},y_{2},z_{2}) : x_{2}\ge x_{3}\}$, cioè $(y+s) \ge (z-s) \Rightarrow (z-y) \le 2s$ : quindi $s$ deve essere positivo, cioè $s=z-y$
Quindi, in ogni caso, $s=z-y$. Abbiamo finito
\[
Q=(x,z,2z-y)
\]
Quindi
\[
\alpha(x,y,z)=(x,z,2z-y)
\]

La costruzione di $\beta$ si può fare con analoghi ragionamenti.

La cosa che mi perplime è quel $\beta^{-1}$ (non mi pare che la proiezione ortogonale sia iniettiva!)

Un modo semplice e chiaro per visualizzare la "geometria" delle trasformazioni è ricorrrere ad autovalori ed autovettori.

Prendiamo tre vettori. Un vettore perpendicolare a $S$ è $(0,1,-1)$.
Due vettori indipendenti che stanno sul piano sono per esempio $(0,1,1)$ e $(1,0,0)$.
I tre vettori formano una base per $R^3$ e rispetto all'applicazione $alpha$ sono tre autovettori associati rispettivamente agli autovalori -1, 1, 1. Ovvero i vettori che stanno sul piano restano se se stessi mentre gli altri vengono rovesciati.
Chiamiano $ A=( ( 0 , 0 , 1 ),( 1 , 1 , 0 ),( -1 , 1 , 0 ) ) $ la matrice degli autovettori, quindi $ A^(-1)=( ( 0 , 1/2 , -1/2 ),( 0 , 1/2 , 1/2 ),( 1 , 0 , 0 ) ) $ è la sua inversa.
Da cui $ alpha=A( ( -1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) )A^(-1)=( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , 0 ) ) $

$beta$ è la proiezione lungo il primo autovettore quindi l'autovalore associato ad esso stavolta è zero, mentre gli altri due autovettori stanno già su $S$ quindi restano se stessi, ovvero i loro autovalori sono ancora 1.

Da cui $ beta=A( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) )A^(-1)=( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1/2 , 1/2 ),( 0 , 1/2 , 1/2 ) ) $

Il prodotto $alphabeta$ equivale a dire "prima proiettiamo i vettori su S e poi li riflettiamo rispetto a S". Pertanto resteranno se stessi. Ergo $alphabeta=beta$ come potrai verificare.

$beta^(-1)$ non esiste in quanto le matrici di proiezioni sono singolari (il determinante è zero). Nella sostanza, non si possono prima proiettare i vettori su un sottospazio e poi ripristinarne le posizioni...eccetto per quelli che stanno sul piano.
Alternativamente, come ha detto Cantor, dato che un'appplicazione invertibile deve essere sia ineittiva che suriettiva, basta far notare che il kernel di $beta$ ha dimensione 1, pertanto non è iniettiva.