Le definizioni prese per una stessa cosa devono essere equivalenti; quindi puoi intenderla in qualsiasi modo
quello che ho fatto è tradurre sostanzialmente quello che hai scritto a parole per assicurarmi di non aver saltato passaggi; comunque è corretta e fila abbastanza bene, hai usato correttamente la caratterizzazione delle basi data da
sistema l.i. massimale <=> baseInizialmente hai scritto “lo spazio generato da ${v_1,...,v_n}$” e poi non hai utilizzato minimamente questa scrittura. La modifica che ho fatto è legata all’utilizzare proprio il sistema di generatori in maniera abbastanza diretta per arrivare alla conclusione
Hai come ipotesi che $V$(non banale) è finitamente generato ovvero esiste un sottoinsieme non vuoto $B$ di $V$ tale che $#B=n$ per qualche $n inNN$ e $<<B>> =V$
A questo punto si può considerare $A={k inNN|existsSsubsetB(#S=kwedge S$ \( l.i. \)$)}$ che puoi notare essere equivalente alla tua scrittura in quanto $A$ contiene soltanto le cardinalità di tutti i sottoinsiemi linearmente indipendenti di $B$(il sistema di generatori)
Quì ti viene in soccorso il fatto che ogni sottoinsieme di $NN$ non vuoto e superiormente limitato ammette massimo.
- è non vuoto poichè essendo $B$ non vuoto esiste un $v in B$ non nullo e $S={v}$ è un sottoinsieme di $B$ linearmente indipendente quindi $#{v}=1 in A$
- è superiormente limitato poiché se $k in A$ allora $k$ è la cardinalità di un qualche sottoinsieme linearmente indipendente di $B$ e quindi $kleq#B=n$.
Da questo si ottiene che esiste un sottoinsieme $S$ dei generatori linearmente indipendente con $#S=m$
Ogni altro sottoinsieme dei generatori che risulta essere linearmente indipendente ha quindi cardinalità minore od uguale a $m$ visto che è il massimo di $A$
Basta provare che questo sistema $S$ genera $V$
- se $m=n$ abbiamo finito
- se $1leqm<n$ allora consideriamo che $Scup{v}$ è linearmente dipendente per ogni $v in BsetminusS$(per le proprietà precedenti date dalla “massimalità”) quindi $v in <<S>>$ per ogni $v in BsetminusS$ da cui $<<S>> = <<B>> =V$
Questo poiché $<<S>>$ contiene tutti i vettori di $B$ quindi contiene ogni loro combinazione lineare pertanto coincidono
Come puoi notare ci si è ridotti a considerare una parte di tutti i sottoinsiemi linearmente indipendenti
Qui viene messo fortemente in evidenza come agisce il fatto che $V$ sia “finitamente generato”, infatti ogni sistema $S’$ linearmente indipendente di $V$ sarà tale per cui $<<S’>> subset V= <<B>>$ ovvero $S’ subset <<B>>$
In poche parole tutti i sistemi indipendenti sono comunque obbligati a passare da combinazioni lineari dei generatori; a questo punto appare evidente che il sistema massimale puoi anche cercarlo tra i generatori stessi. Questo ti fornisce un’idea su come procedere per trovare una base di uno spazio finitamente generato.
Anche perché penso che la tua dimostrazione non si discosti di moltissimo da quella fatta per gli spazi a dimensione infinita; può essere sempre un buon allenamento cercarne una totalmente diversa.
Spero che la mia insonnia non ti abbia annoiato