Spazi vettoriali

Ciao ragazzi sono nuovo su questo sito ma lo seguivo senza iscrizione da molto tempo. La mia domanda iniziale è abbastanza semplice: perché un piano ad esempio in R^3 che non passa dall'origine non può essere uno spazio vettoriale?

Perché non c'è lo zero (non c'è l'elemento neutro della somma di vettori che è una delle condizioni affinché un dato insieme possa dirsi spazio vettoriale)

Comunque, per essere più precisi, non è che quell'insieme "non può essere uno spazio vettoriale"; esso non può essere un sottospazio vettoriale di \(\mathbb R^3\), per il motivo che dice Alex.

Già!! non c'è l'elemento neutro che SCEMO. Esatto mi serviva anche questa precisione grazie! ovvero il fatto che non lo sia di R^3. ma mi piacerebbe poterlo visualizzare anche geometricamente, ovvero; il fatto che non sia un sottospazio vettoriale (perché manca l'elemento neutro) non implica che la somma di due vettori del piano non sia appartenente al piano? (cioè che le due proprietà di uno spazio vettoriale siano tra loro indipendenti o no?).
vi ringrazio in anticipo .

Un piano qualsiasi non è neanche chiuso per somma o moltiplicazione per uno scalare.

Considera per esempio il piano di \(\mathbb{R}^3\) definito come \(\pi := \bigl\{(x, y, z)\in \mathbb{R}^3 : x = 1\bigr\}\). La moltiplicazione per un qualsiasi scalare \(r\neq 1\) manda il punto \((1, 1, 1) \in \pi\) in \((r,r,r)\notin \pi\) (la cosa vale per ogni altro punto di \(\pi\) ovviamente). Similmente \((1,1, 1) + (1, 2, 4) = (2,3,5)\notin \pi\).

D'altra parte, \(\pi\) è l'immagine un sottospazio vettoriale di \(\mathbb{R}^3\) tramite una traslazione dello spazio.

Un piano qualsiasi non è neanche chiuso per somma o moltiplicazione per uno scalare.

Considera per esempio il piano di \(\mathbb{R}^3\) definito come \(\pi := \bigl\{(x, y, z)\in \mathbb{R}^3 : x = 1\bigr\}\). La moltiplicazione per un qualsiasi scalare \(r\neq 1\) manda il punto \((1, 1, 1) \in \pi\) in \((r,r,r)\notin \pi\) (la cosa vale per ogni altro punto di \(\pi\) ovviamente). Similmente \((1,1, 1) + (1, 2, 4) = (2,3,5)\notin \pi\).

D'altra parte, \(\pi\) è l'immagine un sottospazio vettoriale di \(\mathbb{R}^3\) tramite una traslazione dello spazio.

molto chiaro grazie mille! avevo bisogno di un contro esempio.