Trovare vettore non nullo tale che q(X) = 0?

Salve,
Ho un problema. Sto disperando da qualche giorno. Qualcuno riesce a spiegarmi il procedimento (anche facendomi vedere i passaggi?) per trovare un vettore non nullo tale che q(X) = 0?
Poiché il segno della quadratica è indefinita, posso affermare che esiste (così come nel caso della semi-definita, giusto?).

Allego un'immagine.


Grazie mille.

Hai provato a scrivere esplicitamente $q(x, y, z)=...$? Poi si vede a occhio/per tentativi.

Si, ho provato. Ma non capisco ugualmente, magari sbaglio qualcosa.

Poiché il segno della quadratica è indefinita, posso affermare che esiste (così come nel caso della semi-definita, giusto?).

Esatto. Dei vettori isotropi stanno sulla retta $t(0,1,1)$
Se posti i conti (usando l'editor del forum) vediamo dove ti blocchi

Ultima modifica di Bokonon il 21/09/2019, 16:33, modificato 1 volta in totale.

Poiché il segno della quadratica è indefinita, posso affermare che esiste (così come nel caso della semi-definita, giusto?).

Esatto. Tutti i vettori isotropi stanno sulla retta $t(0,1,1)$
Se posti i conti (usando l'editor del forum) vediamo dove ti blocchi

Perdonate la mia poca dimestichezza con LaTex.

$q(x', y', z') =$ \( \displaystyle \begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & -1 \\
0 & \sqrt[]{2} & 0
\end{bmatrix}X \)

il risultato che ottengo (mettendo a sistema):

\begin{equation}
\begin{cases}
x^2+ zx = 0\\xy - zy=0 \\ \sqrt[]{2}yz = 0
\end{cases}
\end{equation}

Per questo poi non capisco come procedere

Non ho capito da dove esce il sistema.
Facciamo un passo indietro e vediamo la logica.
Abbiamo diagonalizzato A, ovvero abbiamo trovato una base ortonormale tale che $A=QLambdaQ^(-1)=QLambdaQ^(T)$
La quadrica è $Q(X)=X^TAX$
Sostituendo abbiamo $Q(X)=X^TQLambdaQ^(T)X=(Q^TX)^TLambda(Q^(T)X)=X'^TLambdaX'$
Dove $X'=Q^TX$ per cui $X=QX'$
Quindi $N=Q$
Ora se cerchiamo rapidamente un vettore tale che $Q(X)=X^TAX=0$ è naturale concentrarsi su una soluzione di $X=NX'=<0,0,0>$
Guarda la matrice N e chiediti quale combinazione lineare delle colonne mi da il vettore nullo?
E' evidente che sommando la prima e la terza colonna ottengo il vettore nullo, quindi la combinazione (1,0,1) soddisfa la richiesta $X=N<1,0,1> = <0,0,0>$ e ci annulla la Q(x).

Tutti i vettori $LambdaX'=0$ sono isotropi, ovvero $3x'^2-y'^2-z'^2=0$ ovvero tutti i vettori che stanno sulla superficie di un cono centrato nell'origine e che esce lungo l'asse X.
Puoi anche provarlo per Q(x). Prendi il vettore $X=N( ( +-sqrt((y^2+z^2)/3) ),( y ),( z ) ) $
e vedrai che soddisfa $Q(X)=X^TAX$

Non ho capito da dove esce il sistema.
Facciamo un passo indietro e vediamo la logica.
Abbiamo diagonalizzato A, ovvero abbiamo trovato una base ortonormale tale che $A=QLambdaQ^(-1)=QLambdaQ^(T)$
La quadrica è $Q(X)=X^TAX$
Sostituendo abbiamo $Q(X)=X^TQLambdaQ^(T)X=(Q^TX)^TLambda(Q^(T)X)=X'^TLambdaX'$
Dove $X'=Q^TX$ per cui $X=QX'$
Quindi $N=Q$

Ok, fino a qui mi è chiaro.

Ora se cerchiamo rapidamente un vettore tale che $Q(X)=X^TAX=0$ è naturale concentrarsi su una soluzione di $X=NX'=<0,0,0>$
Guarda la matrice N e chiediti quale combinazione lineare delle colonne mi da il vettore nullo?
E' evidente che sommando la prima e la terza colonna ottengo il vettore nullo, quindi la combinazione (1,0,1) soddisfa la richiesta $X=N<1,0,1> = <0,0,0>$ e ci annulla la Q(x).

Qui non capisco come fa a venire il vettore nullo sommando la prima e la terza colonna della matrice N come combinazione lineare di (1, 0 ,1).

Hai provato a scrivere esplicitamente $q(x, y, z)=...$? Poi si vede a occhio/per tentativi.

Si, ho provato. Ma non capisco ugualmente, magari sbaglio qualcosa.

Bokonon ormai ha risolto, ma per capire se hai capito, riporteresti qui quello che ti ho chiesto? Ti deve venire un'equazione scalare, non un sistema.

Dovrebbe essere:

$x^2 + zx + xy - zy + \sqrt[2]yz = 0$

No, $q(x, y, z)=x^2+y^2-z^2+4xy$.

aaah ho capito... ma non c'è bisogno neanche di calcoli, si vede ad occhio dalla matrice A.
Io facevo tutt'altro, avevo frainteso ciò che mi chiedevi.

Di conseguenza andando a sostituire il vettore $(1, 0, 1)$ si annulla Q(X).

Quindi considerando la seguente matrice:

A= \( \displaystyle \begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{bmatrix} \)

la forma esplicita è $q(x, y, z) = x^2 + y^2 + 2z^2 + 2xy$

il vettore che soddisfa Q(X) = 0 è $(1, -1, 0)$

Grazie mille a tutti!
Prima esperienza in questo forum: fantastica!