Trovare proiezione ortogonale di Q sulla retta No ortogonale al Piano passante per l'origine

Ciao, volevo capire se il procedimento che effettuo per trovare "proiezione ortogonale di Q sulla retta N ortogonale al Piano passante per l'origine" è corretto. Perché credo di sbagliare qualcosina...

Avendo la retta in forma cartesiana, utilizzo il fascio per trovare il piano che passa per l'origine, quindi con lambda e mu.
Una volta trovato, uso il vettore direttore del piano e il punto Q, applico fourier.

A questo punto dovrei trovarlo ma il risultato è sempre diverso quindi sbaglio qualcosa, chi mi aiuta?

Grazie.

Avendo la retta in forma cartesiana, passala in forma parametrica e troverai la direzione. Le componenti della direzione sono i coefficienti dell'equazione del piano $ax+by+cz=0$
Trovata quest'ultima equazione, la metti a sistema con le due equazioni del piano.

Avendo la retta in forma cartesiana, passala in forma parametrica e troverai la direzione. Le componenti della direzione sono i coefficienti dell'equazione del piano $ax+by+cz=0$
Trovata quest'ultima equazione, la metti a sistema con le due equazioni del piano.

ok, trovata l'equazione del piano. Devo mettere al sistema con cosa? le due eq. della retta? oppure con il piano che ho trovato precedentemente a quello di adesso? E cosa me ne faccio nel punto Q?

Si scusami, volevo scrivere le due equazioni dei due piani che definiscono la retta.

Non si capisce benissimo il problema, quindi generalizzo. Supponiamo che Q non stia sul piano che passa per l'origine che hai trovato. Allora trova il piano che lo contiene.
Una volta trovata l'equazione del piano che passa per l'origine $ax+by+cz=0$ trova d dall'uguaglianza $ax+by+cz=d$ sostituendo le coordinate del punto Q ad x,y,z.

A questo punto fai il sistema fra $ax+by+cz=d$ e le due equazioni cartesiane della retta ed otterrai la proiezione ortogonale di Q sulla retta lungo il piano (per la precisione troverai la proiezione di tutti i punti del piano, incluso Q).

Si scusami, volevo scrivere le due equazioni dei due piani che definiscono la retta.

Non si capisce benissimo il problema, quindi generalizzo. Supponiamo che Q non stia sul piano che passa per l'origine che hai trovato. Allora trova il piano che lo contiene.
Una volta trovata l'equazione del piano che passa per l'origine $ax+by+cz=0$ trova d dall'uguaglianza $ax+by+cz=d$ sostituendo le coordinate del punto Q ad x,y,z.

A questo punto fai il sistema fra $ax+by+cz=d$ e le due equazioni cartesiane della retta ed otterrai la proiezione ortogonale di Q sulla retta lungo il piano (per la precisione troverai la proiezione di tutti i punti del piano, incluso Q).

Allora, ho fatto il procedimento ma non viene lo stesso risultato. Ti spiego le varie richieste così è più chiaro.
a) Determinare un'equazione del piano contenete A, B, C.
risultato: $3x-y-2z-1 = 0$
b) Determinare la retta r = AB in forma cartesiana.
Le due rette sono: $x-y= -1$ e $x-z = 1$
c) Determinare la distanza fra Q = (1, 2, 3) dal piano.
$3\sqrt[14]$ fratto $7$

I risultati sono tutti corretti

Il punto d) è la mi domanda.
Seguendo il tuo procedimento ho fatto:
- Ho trovato l'equazione del piano che passa per l'origine, quindi $2x-y-z = 0$
dopo ho trovato il punto d impostando $ax + by + cz = d$
Ma credo sia sbagliato. Tuttavia ho trovato il piano e messo a sistema con le rette.
Ho trovato il punto $(8, -3,-5)$.
Ma il risultato della richiesta è il seguente: $(-15/14, 15/14, 5/7)$

"proiezione ortogonale di Q sulla retta N ortogonale al Piano passante per l'origine"

Ti ha chiesto "trovare la proiezione ortogonale di Q sulla retta N ortogonale al Piano e passante per l'origine"

Cosa c'entra la retta che hai trovato? Ti ha chiesto di trovarne un'altra usando il piano che hai trovato e non viceversa.
Colpa mia, avrei dovuto chiederti di scrivere l'intero esercizio immediatamente.

Trova la direzione perpendicolare al piano che hai trovato al punto a)
Scrivi la retta che ha quella direzione e passa per l'origine e scrivine le equazioni cartesiane.
Poi prendi il piano generico $3x-y-2z=d$ e trova d imponendo che passi per Q.
E alla fine fai il sistema...e ti verrà fuori il risultato.

Grazie mille!!
Adesso ho capito e mi viene fuori il risultato.