matrice applicazione lineare e basi

Salve, ho sclerato tutta la sera davanti a un quesito di geometria differenziale che verteva su concetti di algebra lineare. Semplificando, la cosa che non mi tornava è che sapevo che la matrice di cambiamento base tra due basi di uno spazio vettoriale era di un certo tipo; tuttavia in un esempio veniva mostrato che prese due basi di uno spazio vettoriale esisteva una matrice che mappa ogni vettore della prima base in un vettore della seconda base, questa veniva chiamata matrice di cambiamento di base, ma non era della forma della matrice di cambiamento di base che avevamo visto nella teoria.
Solo dopo due ore ho riflettuto sul fatto che una matrice di cambiamento di base non manda necessariamente vettori della base del dominio in vettori della base del codominio (o viceversa).
Mi confermate?
Infine sapete se suddetta matrice ha qualche nome in letteratura?
Thanks

Puoi fare degli esempi? Non sono sicuro di aver capito il tuo dubbio.

Spiego tutto per bene:
Ho uno spazio vettoriale che ha le seguenti basi
$\{ e_1,...,e_n
\}\{f_1,...,f_n\}$
Ora ogni vettore dello spazio assume tale decomposizione lineare:
$v=\sum_i a_i*e_i$
e
$v=\sum_i b_i*f_i$
Questo mi autorizza a dire che la matrice di cambio di base è la matrice
$M_e^f$
tale che
$(a_1,...,a_n)^\{T\}= M•(b_1,...,b_n)^T$
Ora in seguito viene mostrato che
$f_j=\sum_i a_{i,j}*e_i$
Fatto sta che la matrice
$A=(a_{i,j})_{i,j=1,...,n}$
è esattamente la trasposta della matrice di cambiamento di base, all'inizio pensavo che ci fosse un errore e che A dovesse essere la matrice di cambiamento di base e quindi uguale a M, ora mi confermate che A e M sono matrici diverse e che M è quella di cambiamento di base mentre A è una matrice che non so bene cosa rappresenta?
Cioè so cosa rappresenta ma non riesco ad attribuirgli un "nome" matematico

Ora in seguito viene mostrato che
$f_j=\sum_i a_{i,j}*e_i$

Che scemo che sono, tale affermazione è la definizione della colonna j,-esima della matrice di cambiamento di base... Non ho parole, sono riuscito a capirlo solo ora che mi sono ricondotto a dei vettori di uno spazio vettoriale reale.