Buonasera,
mi è stato assegnato il seguente esercizio:
Utilizzando le proprietà del birapporto dimostrare il teorema fondamentale della geometria proiettiva in dimensione 1.
In particolare devo considerare le due seguenti proprietà del birapporto:
1. Il birapporto è invariante proiettivo.
2. Dati tre punti $A,B,C$, $\forall t \exists ! D: R(A,B,C,D)=t$.
Devo dimostrare che esiste ed è unica la proiettività $T$ tale che $T(A,B,C)=(A',B',C')$.
Quindi prima di tutto devo dimostrare che esiste almeno una proiettività. Ma a me questo sembra ovvio. Come posso dimostrarlo esplicitamente?
Per la seconda parte della dimostrazione: devo dimostrare che la proiettività è unica.
Ho pensato di dimostrarlo per assurdo, considerando l'ipotesi che esistano due proiettività diverse $T$ e $S$ che però soddisfano entrambi $T(A,B,C)=(A',B',C')$ e $S(A,B,C)=(A',B',C')$. Considererei quindi due proiettività tali che $T(A,B,C)=(A',B',C')$ e $S(A,B,C)=(A',B',C')$, ma tali che $\exists D:S(D)\ne T(D)$. So per le proprietà sopra che $\forall t\exists!F: R(A,B,C,F)=t$ ed essendo il birapporto invariante, si ha anche $\forall t\exists!F: R(A',B',C',T(F))=t$ e $\forall t\exists!F: R(A',B',C',S(F))=t$, perciò $T(F)=S(F), \forall t$ il che contraddice l'ipotesi assurda.
Ha senso questa dimostrazione?
Grazie molte per l'aiuto!