La distanza tra due sottospazi affini è sempre realizzata?

Forse non è proprio la sezione più azzeccata, ma da qualche parte dovevo pur metterla.
Se ho $RR^n$ con la norma euclidea e considero due sottospazi affini $V$ e $W$, posso sempre dire che la distanza tra tali sottospazi sia realizzata (ovvero esistono $x\inV$, $y\inW$ tali che $d(V,W)=d(x,y)$)?
Quello che è ovvio è che se sono paralleli oppure si intersecano la risposta è affermativa, quindi ci interessano solo casi in cui sono (generalizzando un termine che si usa per le rette) sghembi.
È chiaro inoltre che anche se uno dei due sottospazi è un solo punto la risposta è affermativa.
Qualcuno sa come trattare questo problema?
Poi mi interesserebbe capire in che modo di può generalizzare questo risultato a spazi normati, con ipotesi opportune (per esempio di sicuro i sottospazi devono essere chiusi).

Può essere che tu stia cercando qualcosa sulle righe della Proposizione 1.4.2 del Candilera, Bertapelle di geometria 1?

Non ho idea di che libro sia, potresti riportare l'enunciato a cui fai riferimento?

Mi chiedevo...ma non è necessario specificare cos'è $d(V,W)$?
Non è che $d(V,W)=min[d(x,y)]$?

Qui c’è il libroTesto visibile solo ai moderatori e all'autore del post

Forse non è proprio la sezione più azzeccata, ma da qualche parte dovevo pur metterla.
Se ho $RR^n$ con la norma euclidea e considero due sottospazi affini $V$ e $W$, posso sempre dire che la distanza tra tali sottospazi sia realizzata (ovvero esistono $x\inV$, $y\inW$ tali che $d(V,W)=d(x,y)$)?
Quello che è ovvio è che se sono paralleli oppure si intersecano la risposta è affermativa, quindi ci interessano solo casi in cui sono (generalizzando un termine che si usa per le rette) sghembi.
È chiaro inoltre che anche se uno dei due sottospazi è un solo punto la risposta è affermativa.
Qualcuno sa come trattare questo problema?
Poi mi interesserebbe capire in che modo di può generalizzare questo risultato a spazi normati, con ipotesi opportune (per esempio di sicuro i sottospazi devono essere chiusi).

In generale questi problemi possono essere difficili; vedi ad esempio questo libro https://www.springer.com/gp/book/9783642648830

Lo strumento da usare è SEMPRE la compattezza in qualche sua forma. Qui, siamo su \(\mathbb R^n\) e dobbiamo servirci della proprietà di compattezza locale; le palle chiuse \(\overline B_R\) sono compatte. La proprietà chiave da dimostrare è che, detti \(X\) e \(Y\) sottospazi affini e sghembi di \(\mathbb R^n\), e fissati \(x\in X\) e \(y\in Y\), esiste \(R>0\) tale che \(|x'-y'|\ge |x-y|\) per ogni \(x', y'\in \mathbb R^n\setminus B_R\). Intuitivamente sono sicuro che questo è vero, ed è qui che si usa in modo fondamentale la geometria del problema.

Una volta che questo è dimostrato, si conclude con un ragionamento standard: sia \((x_n, y_n)\in X\times Y\) una successione minimizzante, ovvero tale che \(|x_n-y_n|\to d(X, Y)\); per quanto detto sopra, tale successione è limitata e quindi ha una estratta convergente. Ma \(X\) e \(Y\) sono chiusi, e ciò conclude la dimostrazione.

Lo strumento da usare è SEMPRE la compattezza

Mi contraddico subito. Si può risolvere il problema in modo puramente algebrico, considerando la differenza \(x-y\) tra due punti sui due sottospazi affini in considerazione, e imponendo che \(x-y\) sia ortogonale ad entrambi. Il vantaggio è che non solo si dimostra che la distanza è realizzata, si trova pure una formula per i due punti che la realizzano. Qui ci sono dettagli.

Chiaramente, su uno spazio di dimensione infinita questo discorso algebrico va a farsi benedire. La mia intuizione è che, se \(X, Y\) sono due sottospazi affini e chiusi di uno spazio di Hilbert, e sono disgiunti e non paralleli, allora esistono due punti \(x\in X\) e \(y\in Y\) tali che \(\lVert x-y\rVert = d(X, Y)\), e credo che tali punti siano pure unici.

Ma nel caso più generale di sottospazi affini di uno spazio di Banach, penso proprio che la cosa sia falsa.