14/11/2019, 17:20
14/11/2019, 17:41
14/11/2019, 18:23
otta96 ha scritto:E come fai a dire che è continua se non sai qual è la topologia?
otta96 ha scritto:Comunque come topologia si intende quella del sottospazio vedendo $GL(n, RR)$ come sottoinsieme di $M(n, RR) $, identificato con $RR^(n^2)$.
14/11/2019, 18:38
15/11/2019, 07:59
15/11/2019, 10:11
22/11/2019, 12:25
vict85 ha scritto:Facciamo un po' di ordine.
La funzione \( \det\colon \mathrm{M}(n,\mathbb{R})\to \mathbb{R} \) è una funzione polinomiale nella base canonica di \( \mathrm{M}(n,\mathbb{R}) \), quindi è continua.
Il testo ti sta chiedendo di dire se \( \mathrm{GL}(n,\mathbb{R}) = \det^{-1}(\mathbb{R}\setminus \{0\}) \) e \( \mathrm{SL}(n,\mathbb{R}) = \det^{-1}(\{1\}) \) sono compatti.
Nota che \( \mathrm{M}(n,\mathbb{R}) \) è uno spazio di Hausdorff, quindi \( \mathrm{GL}(n,\mathbb{R}) \) non può essere compatto (ogni compatto di uno spazio di Hausdorff è chiuso).
Riguardo a \( \mathrm{SL}(n,\mathbb{R}) \) è senz'altro un insieme chiuso, e \( \mathrm{M}(n,\mathbb{R}) \) possiede la proprietà di Haine-Borel (in quanto spazio vettoriale reale di dimensione finita). Si tratta di un insieme limitato?
Nota che chiuso e limitato implica compato solo ed esclusivamente negli spazi con la proprietà di Haine-Borel.
22/11/2019, 13:18
22/11/2019, 13:21
vict85 ha scritto:È controimmagine di un chiuso tramite una funzione continua. Insomma è chiuso quasi per definizione.
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