Successione che converge a tutti gli \(n \in \mathbb{N} \)

Riguardando un vecchio esercizio mi è venuto un dubbio sulla parola: "simultaneamente"
Considera \( (\mathbb{N}, \tau_C) \) dove \( \tau_C \) è la topologia cofinita di \( \mathbb{N} \). Trova una successione \( x_n \) che converge simultaneamente ad ogni \( n \in \mathbb{N} \).

Io avevo trovato mi pare, \( (x_k)_{k \in \mathbb{N}} \) dove \( x_k=k \) per tutti i \(k \in \mathbb{N} \).
Chiaramente \( \forall n \in \mathbb{N} \) e per ogni \( U_n \in \tau_C \) tale che \( n \in U_n \), sappiamo che \( \mathbb{N} \setminus U_n \) è finito, dunque prendendo \( M_{U_n} := \max \mathbb{N} \setminus U_n \) abbiamo che per tutti gli \( i > M_{U_n} \) risulta che \( x_{i} \in U_{n} \). E dunque la successione \( (x_k)_{k \in \mathbb{N} } \) converge ad ogni \( n \in \mathbb{N} \).

Però cosa intende dire simultaneamente??

Penso che intenda semplicemente che converge a tutti i naturali. "Simultaneamente" penso sia lì solo per rimarcare che hai una successione e molti limiti.

Io l'avevo interpretato un po' come per gli integrali impropri che mi pare se prendi velocità differenti di convergenza o divergenza degli estremi d'integrazione allora può essere che l'integrale cambi, e magari anche in questo caso potresti trovare una successione che convergono a "velocità" differenti ai suoii limiti.

Edit: mi spiego meglio, non che cambia il limite, ma che converge rapidamente ad \( \ell_1 \), e converge più lentamente a \( \ell_2 \) dove \( \ell_k \) con \(k=1,2 \) sono dei limiti di un successione.

Penso il problema sia da intendere nel seguente modo: trovare una successione di numeri naturali che abbia tutto \(\mathbb{N}\) come insieme di accumulazione. O equivalentemente che per ogni \(n\in\mathbb{N}\) possieda una sottosuccessione convergente a \(n\).

Penso il problema sia da intendere nel seguente modo: trovare una successione di numeri naturali che abbia tutto \(\mathbb{N}\) come insieme di accumulazione. O equivalentemente che per ogni \(n\in\mathbb{N}\) possieda una sottosuccessione convergente a \(n\).

Si questo l'avevo capito, probabilmente mi sto esprimendo male.
Mi domandavo se i diversi punti dell insieme di accumulazione di una successione possono avere "velocità" di convergenza differenti. Insomma se è possibile trovare delle successioni che convergono più rapidamente a qualcosa rispetto che a qualcosa d'altro.

Rileggendo bene, ha ragione Bremen000. Infatti, puoi trovare un esempio di quello che dicevo prima in \(\mathbb{N}\) con la topologia discreta, ma con la topologia cofinita, ogni aperto interseca ogni altro. Insomma è un esercizio per capire che negli spazi \(T1\) il limite di una successione non è necessariamente unico.

Il concetto di velocità di convergenza ha senso solo in spazi metrici.

Ok, grazie ad entrambi