Base con paramentri reali.

Ciao!
Sto racattando gli esercizi che i miei compagni hanno fatto nei tutorati e me li sto facendo, sperando di capire facendo visto che l'Algebra Lineare è una brutta bestia. Vorrei un confronto su questo esercizio: vorrei vedere se è giusto e se si può fare in un altro modo più semplice (a me questo metodo è venuto in mente).

Sia
\[B := \left\{
\begin{pmatrix}
a \\ -1 \\ -1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ a
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 \\ b \\ b
\end{pmatrix}
\right\}.\] Per quali \(a,b \in \mathbb R\) l'insieme \(B\) è una base?

Svolgimento. Penso il testo voglia dire "base di \(\mathbb R^3\)". Quindi continuerò con questo in mente. L'insieme \(B\) è base di \(\mathbb R^3\) se e solo se \[\mathbb R^3 = \text{span}B\]e i vettori di \(B\) sono linearmente indipendenti. Ora
\[
\text{span}B = \text{Im} \begin{pmatrix}
a & 0 & 1 \\
-1 & 0 & b \\
-1 & a & b
\end{pmatrix}
\] e quindi la cosa diventa questione di matrici. La lineare indipendenza delle colonne della matrice ottenuta affiancando uno dopo l'altro i vettori di \(B\) è equivalente al fatto che il rango di questa matrice è \(3\), che è anche la dimensione di \(\mathbb R^3\). Ancora, ciò equivale a dire che il determinante è diverso da \(0\).
\[
\det\begin{pmatrix}
a & 0 & 1 \\
-1 & 0 & b \\
-1 & a & b
\end{pmatrix} = -a\det\begin{pmatrix}
a & 1 \\
-1 & b
\end{pmatrix} = -a(ab+1) \ne 0 \Longleftrightarrow a \ne 0 \land b \ne -1/a.
\]Fine.
Può andare?

Mi sembra corretto.