Salve a tutti. Ho scritto per rivangare un thread che avevo postato alcuni mesi fa sugli assiomi di hilbert ed il principio di induzione:
https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=37&t=198749.
Il punto era (brevemente) se posso fare geometria con gli assiomi di hilbert senza il principio di induzione. In particolare quest'ultimo sembra necessario quando devo introdurre i multipli di un segmento ed in altre disparate occasioni come ad esempio la dimostrazione dell'incommensurabilità delle diagonale del quadrato. Con gli assiomi di hilbert vorrei non fare uso dei numeri naturali ma solo di segmenti, figure ecc. In particolar modo una traccia dell'incommensurabilità della diagonale del quadrato dovrebbe esser fatta prendendo spunto da questo link:
https://math.i-learn.unito.it/pluginfile.php/56718/mod_resource/content/1/CapI%2Cantichit%C3%A0.pdf (cfr relativa figura). Ad ogni passo si ottiene per assurdo che la diagonale ha un multiplo comune al lato e, contemporaneamente, i lati e le diagonali ottenuti come descritto in tale pdf sono sempre più piccoli. Ma ad un certo punto, non potendo esserci "punti di accumulazione" nei multipli, entrambi devono diventare più piccoli del loro comune multiplo e dunque qui affiorerebbe la contraddizone. Non riesco a capire come si possa raggiungere tale dimostrazione senza il principio di induzione. In oltre, ad esempio, c'è il problema dell'equiscomponibilità delle figure per definire il concetto di area. Ora con gli assiomi di hilbert possiamo introdurre il concetto di punti interni ed esterni ad un triangolo e quindi quadrilatero, pentagono ecc. Perciò possiamo dire quando due figure sono equiestese. Anche qui però vedo incombere il principio di induzione.
Stando a quanto mi ha detto Indrjo Dedej è possibile,
dare una definizione formulabile all'interno dell'assiomatica esistente
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Del resto indrjo mi ha, giustamente, sconsigliato di arricchire gli assiomi di hilbert:
Quest'ultima azione è "pericolosa" (non ti do dettagli perché forse è troppo presto, ma: chi ti dice che genero una teoria coerente così facendo?) e abbastanza snervante (potrebbero essere necessarii altri assiomi che garantiscano l'integrazione del nuovo assioma con quelli già presenti).
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Indrjo mi ha richiamato questo link:
https://math.stackexchange.com/questions/2833329/definition-multiple-of-a-segment-using-hilbert-axioms il quale è un thread, sempre scritto da me, che non ha ricevuto alcuna risposta. In esso anche assumendo il punto 2' mi sembra una definizone data per ricorsione la quale ha bisogno, come dice indrjo, del teorema di ricorsione ovvero del principio di induzione. Se qualcuno mi può indicare come dare queste definizioni di multiplo, provare l'incommensurabilità della diagonale e come arrivare all'equiestensione senza introdurre il principio di induzione può farmelo sapere? Non dormo più la notte! Chiedo aiuto anche a indrjo se è in ascolto. Forse non mi ha più risposto nel mio precedente thread forse per una mia eccessiva irruenza. Desidero fortemente una risposta a questo mio rompicapo anche se per alcuni esperti di fondamenti è magari un briuscolino da risolvere. Del resto come faccio ad escludere il principio di induzione? Se gli assiomi della geometria, e dunque quelli formulati da hilbert, devono essere equivalenti a quelli dei numeri reali devono per forza contenere anche il principio di induzione no? Se qualcuno ha una dritta, anche un testo di logica che possa risolvere il mio specifico problema (mi indichi per favore il punto cruciale del book) chiedo se me lo può far sapere.