Esercizio: studio del segno di autovalori di una matrice parametrica

Nel determinare il segno degli autovalori della matrice $ A_t=( ( t+2 , 3 , -t ),( 3 , 2t+1 , -7),( -t , -7 , 12 ) ) $ , al variare di $ t in R $ , il suggerimento: "per $ t=2 $, il determinante della matrice è nullo" in cosa potrebbe aiutarmi?
Nel caso particolare con t = 2, trovo quindi velocemente il polinomio caratteristico e gli autovalori di $ A_t $, che sono $ 0 $ , $ (21+sqrt(177))/2 $ , $ (21-sqrt(177))/2 $, quindi uno nullo e due positivi. Non penso che ricavarmi il polinomio caratteristico generico, determinarne le radici in funzione di t per poi studiarne il segno sia il giusto modo di agire. Come posso fare?
In generale so che $ det(A_t)=-2t^3+23t^2+53t-182 $ e che $ tr(A_t)=3t+15 $. Grazie

In aggiunta: essendo la matrice simmetrica, credo di poter associare ad essa la conica di equazione : $ (t+2)x^2+(2t+1)y^2+6xy-2tx-14y+12=0 $.
Procedendo ora, come a me spesso capita per la classificazione (in realtà delle quadriche), rapportando i determinanti $ d_3=det(A_t) $ , $ d_2=det(Q_t) $ con $ Q_t( ( t+2 , 3),( 3 , 2t+1 ) ) $ e $ d_1= t+2 $ , per determinare il segno degli autovalori è corretto?
Cioè studiare il segno di $ d_1 $, il segno di $ d_2/d_1 $,e il segno di $ d_3/d_2 $, mi equivale a determinare i segni dei tre autovalori della matrice?

Vorrà dire che per i valori di t, per cui $ d_3 $ è zero, andrò a determinare direttamente gli autovalori.
Grazie della dritta e per i link. Buon proseguimento.

In generale so che $ det(A_t)=-2t^3+23t^2+53t-182 $

Hai una soluzione, fai una divisione polinomiale e ottieni $det(A_t)=-(t-2)(t-13)(t+7/2)$
Chiediti quando è $>=0$ e risolvi la disequazione con il classico grafico delle superiori.
Una volta che conosci il segno della matrice completa al variare di t, fai la stessa cosa per gli altri due minori sulla diagonale e analizza le soluzioni tutte insieme per determinare gli intervalli di t per cui la matrice è definita positiva, negativa, indefinita etc etc